¿Cuál es una manera buena y gentil de mojarme los pies con matemática pura basada en pruebas?

Answer 1

Te sugiero que revises los Elementos de Euclides. No tiene que ser el original; Una versión modernizada sería suficiente.

La geometría se enseña con demasiada frecuencia en lo que considero una forma descuidada, a menudo saltando adelante, a menudo utilizando enfoques intuitivos que no se basan en un enfoque sistemático. Euclides comenzó con una lista de términos y axiomas indefinidos. Luego construyó cuidadosamente una estructura matemática.

Estaba muy frustrado por su incapacidad para probar un hecho “obvio”: que aunque un punto fuera de una línea dada, solo podría dibujarse una línea que nunca se cruzaría con la primera línea. Luchó por demostrar esto, pero no pudo, por lo que se vio obligado a dejarlo como un postulado.

¡Eso era indicativo de lo gran matemático que era! Ahora entendemos que este axioma no se puede probar, porque se puede suponer que es falso y obtener una estructura matemática completamente consistente (llamada geometría hiperbólica; puede ser representativa del espacio real, aunque las mediciones actuales argumentan en contra de él).

Tuve la suerte de que mi clase de geometría de la escuela secundaria se enseñara de esta manera, y fue en este curso que me enamoré de las matemáticas. (Sin embargo, muchos de los otros estudiantes lo odiaban).

Answer 2

En mi escuela, Douglas Smith, Maurice Eggen y Richard St. Andre enseñaron esta clase usando un libro llamado “Transición a las matemáticas avanzadas”. (Revisé en línea, y la edición actual tiene un precio minorista absolutamente impactante de $ 250. Buscaría una edición antigua, que probablemente pueda encontrar por $ 20. O, dependiendo de su disposición ética / moral, probablemente pueda encontrar una versión pirateada en PDF gratis.) Sin duda, este libro es uno de los millones de libros similares, y creo que cualquiera de esos millones funcionaría para usted.

Entre otros temas, estos libros ofrecen una introducción completa a la teoría de conjuntos básica ( muy básica). Para los conjuntos V y W, aprende sobre intersecciones, uniones, diferencias, productos, etc. de V y W. Aprende sobre conjuntos infinitos. Aprendes a probar que dos conjuntos son iguales. Aprende acerca de las relaciones binarias, incluye un ejemplo muy importante en las relaciones de equivalencia. Muy tipo de tuercas y tornillos.

Si su objetivo es enfocarse en la escritura de prueba per se (en oposición a la escritura de prueba en el contexto de una rama particular de las matemáticas), entonces este es el material ideal. Es algo aburrido, pero es perfecto para trabajar en su técnica de prueba precisamente porque es muy aburrido. Por el contrario, cuando trabajas en un contexto con el que estás familiarizado, por ejemplo, cálculo o geometría, la tentación de dar un pequeño salto lógico es mayor porque “conoces” el material.

Además, como sugiere el título del libro, este material es indispensable si quieres continuar con las matemáticas avanzadas. Sé que “indispensable” es a veces un término de marketing falso, pero en este caso realmente lo digo literalmente.

Answer 3

Trata de entender el teorema de Pitágoras. Quiero decir, realmente, prueba a ti mismo que es verdad.

Primero, esto requiere comprender lo que la propuesta realmente dice, que es:

No solo para triángulos especiales como 4² + 3² = 16 + 9 = 25 = 5², sino cualquier cuadrado construido a partir de cualquier triángulo rectángulo. (Piense en elevar la altitud, por ejemplo, tratando el pie como una unidad 1.)

Allen Hatcher:

Los antiguos griegos conocían esta fórmula, e incluso antes de los griegos, los antiguos babilonios deben haber sabido mucho acerca de los triples pitagóricos porque se ha encontrado una de sus tabletas de arcilla de hace casi 4000 años, que ofrece una lista de 15 triples pitagóricos diferentes, el más grande de que es (12709, 13500, 18541).

Si buscas en, por ejemplo, Wikipedia, también puedes encontrar una antigua fuente china, y creo que también una india.

(Y como estoy comentando sobre Babilonia vs India y hace solo unos años no tenía una imagen clara de la caminata entre ellos, aquí hay una imagen de la distancia que sugiere que hubo menos intercambio cultural entre Irak e India que entre India Y China, pero aún posiblemente algún intercambio.)

Answer 4

Hay innumerables excelentes ejemplos de pruebas simples y elegantes con las que puede comenzar, incluidas muchas de las mencionadas aquí.

Recomendaría el innovador trabajo de Cantor sobre infinitos y números cardinales. Es sorprendentemente comprensible, pero sorprendente en muchos resultados contraintuitivos que encontrará.

Estudie la prueba de diagonalización de Cantor, que es una obra maestra de belleza, elegancia y poder. Luego pase a la prueba de Turing de la indecidibilidad del problema de detención. Te sorprenderán aún más las similitudes.

Para colmo, haga un recorrido por los teoremas de incompletitud de Gödel. Hay muchas explicaciones populares y más fáciles de entender de su fascinante trabajo, que muchos consideran uno de los mayores logros de las matemáticas del siglo XX.

Answer 5

Puede intentar leer “Cálculo” de Michael Spivak; él prueba todos los teoremas que generalmente no se prueban en un curso de Cálculo, y hay un Libro de respuestas disponible. El libro está casi al nivel de lo que tradicionalmente se llama “Análisis real”, que se enseña en el nivel junior en la universidad y forma parte de un BA de matemáticas tradicional.
Ofrezco esto principalmente porque corresponde a algo con lo que está familiarizado actualmente. Algunas de las pruebas más divertidas se pueden encontrar en Euclid Book One, que culmina en una prueba del teorema de Pitágoras: al estar basado en un conjunto diferente de postulados, creo que ofrece una perspectiva interesante sobre lo que significa probar algo y qué Un buen conjunto de postulados son.
Mientras tanto, puede intentar probar que N por cero es igual a cero para cualquier N. Es tan obvio que probablemente nunca haya encontrado una prueba, pero no es un axioma.

Answer 6

Tome la Introducción de Keith Devlin al pensamiento matemático (MOOC). Es una clase suave sobre cómo hacer pruebas.

No es tan duro como el curso de transición en una especialidad pura de matemáticas. Devlin no discute funciones inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, relaciones y el teorema de Cantor.

Pero tengo la sensación de que si lo terminas hasta el final, tiene suficiente material para prepararte para abordar un libro sobre teoría de números elemental, cálculo riguroso usando Spivak o Tom Apostol, un texto de álgebra abstracto fácil pero interesante de Pinter.

Answer 7

Muchas buenas respuestas a continuación; Agregaré otro: después de que hayas probado algo, vuelve a demostrarlo de manera diferente . El teorema de Pitágoras es un buen ejemplo. Hay al menos 100 pruebas que conozco (algunas de las cuales son mínimamente diferentes).

Lo importante para recordar acerca de la prueba es que es el viaje, no el destino: el verdadero aprendizaje ocurre en la carne de la prueba, y no en la conclusión real. (La conclusión es buena, no me malinterpreten … pero las matemáticas interesantes ocurren en el medio)

Answer 8

Lea “Cómo resolverlo” por Polya.

Answer 9

Comience leyendo sobre la lógica proposicional y predicativa y el sistema de deducción natural. Aprenda cómo estructurar una prueba y cómo hacer generalizaciones válidas. Es posible que tenga que “darse una vuelta” un poco para encontrar un conjunto de notas que satisfaga sus necesidades. En mi experiencia, si las primeras dos páginas no tienen sentido después de leerlas más de 3 veces, continúe. Hay muchas notas excelentes en línea. También puede buscar software que esté disponible para ayudarlo a aprender métodos básicos de prueba.

Answer 10

Si no conoce el grupo (matemáticas), se basa en 4 axiomas simples y muchas pruebas formales. Muy interesante, también muy adecuado para el autoaprendizaje.