¿Cuáles son todos los axiomas que se usan en matemáticas?

Answer 1

Recomiendo encarecidamente que no intente aprender matemáticas de esa manera. Se supone que el pensamiento matemático es riguroso en cierto sentido, pero si insiste en eliminar el fundamento lógico, eso le costará una gran cantidad de tiempo y le impedirá aprender los tipos de habilidades para resolver problemas de los que se tratan las matemáticas.

Por ejemplo, la mayoría de las personas aprenden geometría euclidiana utilizando los cinco postulados de Euclides, pero en el siglo XIX se dio cuenta de que estos no son suficientes. A Hilbert se le ocurrieron 20 axiomas que son necesarios para completar los huecos que dejan los supuestos implícitos que Euclides hizo en The Elements. Todos los matemáticos pueden calcular el número máximo de círculos congruentes no superpuestos que pueden caber alrededor de otro círculo congruente (la respuesta es 6), y podrían proporcionarle una prueba satisfactoria de que su respuesta es correcta. Pero la prueba no será realmente rigurosa en el sentido de demostrar exactamente qué pasos lógicos se aplican a cuál de los 20 axiomas básicos. Estoy seguro de esto porque estoy bastante seguro de que muy pocos matemáticos saben cuáles son los 20 axiomas. Además, cuando hay esfuerzos para traducir las pruebas matemáticas a pruebas que son formalmente rigurosas hasta el punto de que una computadora puede verificar su corrección, a menudo se requiere mucho esfuerzo para hacer esta traducción.

Recomendaría aprender matemáticas de libros que se centran en la resolución de problemas. También deberían ser rigurosos, pero en el sentido de Euclides, no de Hilbert. Si desea obtener esa sensación de aprendizaje desde cero, comience en cualquier punto temprano del plan de estudios. Aprenderá los axiomas y principios importantes a medida que avanza, y esto será más agradable y conducirá a mejores resultados.

Answer 2

En primer lugar, no existe tal cosa como “todos los axiomas que se usan en matemáticas”. En segundo lugar, los detalles que describen la pregunta contienen una suposición que no comprende qué es realmente la matemática. No se trata de axiomas; Se trata de pruebas. Se trata de cómo avanzar desde un conjunto de axiomas o un conjunto de hechos matemáticos conocidos para descubrir y probar nuevos hechos matemáticos.

Si quiere “volver a aprender matemáticas desde el principio”, lo primero que debe aprender es “qué es una prueba”. Y la mejor manera de hacerlo es estudiar ejemplos simples para que pueda comenzar a adquirir técnicas básicas. Recomiendo comenzar con la teoría de números, principalmente porque todos los libros de texto modernos de geometría parecen estar escritos por personas que no entienden las pruebas. Pase a las matemáticas discretas para aprender algo sobre secuencias y series. (El libro de Knuth es bueno para esto.) Luego, vuelva a aprender el cálculo del libro de Courant. Cuando comprenda que solo hay tres hechos importantes en el curso habitual del primer semestre, puede pasar a cualquier otra parte de las matemáticas que le interese.

Por otro lado, si realmente quieres enterrarte en axiomas desde cero, lee los Principia Mathematic a de Bertrand Russells, donde literalmente se necesitan cientos de páginas para demostrar que 1 + 1 = 2.

Answer 3

Cada clase de objeto funciona con un conjunto diferente de axiomas. No se pueden establecer todos los axiomas utilizados en matemáticas, porque se consideran más todo el tiempo. Además, incluso si fuera a establecer la teoría y usar algo como ZFC para definir números y topología (que está lejos de la suma total de las matemáticas), todavía tiene diferentes conjuntos en función de cuál de los axiomas se usó.

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Te voy a dar un ejemplo. Los magmas tienen un axioma:

[matemáticas] \ existe f: A \ veces A \ rightarrow A [/ matemáticas]

Es un axioma, que existe una función (operación técnica) que toma dos del objeto (A) y produce otra A donde A es un magma.

Los semigrupos tienen un axioma más sobre el de Magmas:

[matemáticas] \ para todos x, y, z \ en A: f (x, f (y, z)) = f (f (x, y), z) [/ matemáticas]

Lo cual es básicamente que la operación descrita anteriormente sea asociativa.

Como puede ver, forma un gráfico dirigido en el que axiomas adicionales crean nuevos objetos hasta el infinito. La gran parte es que podemos razonar sobre los objetos donde se encuentran estos axiomas.