¿Qué es el cálculo en términos simples? ¿Cuál es la diferencia entre integración y diferenciación?

Answer 1

Wikipedia lo pone muy bien:
El cálculo es esencialmente el estudio matemático del cambio.
(de la misma manera que la geometría es un estudio de forma y espacio, y el álgebra es un estudio de funciones)

Calculo diferencial
El cálculo diferencial esencialmente permite calcular la tasa de cambio. Entonces, la variable ‘y’ es una función de la variable ‘x’.
Ahora, cuando uno cambia el valor de x, el valor de y cambia. Pero, ¿cuál es la tasa de cambio? En otras palabras, si el valor de x cambia en cierta cantidad (digamos dx), ¿cuánto cambiará el valor de y?
Esta pregunta es fácil de responder cuando tenemos valores numéricos reales, qué cálculo diferencial trata de averiguar, cuál es el comportamiento del cambio en y (dy) cuando hay algún cambio no especificado en x (dx), y trata de encuentre la ecuación que explica este comportamiento en cada punto de la curva.
Entonces, también se podría decir que el cálculo diferencial es una técnica para encontrar una fórmula para calcular la pendiente de la curva en cada punto de la gráfica de una función.

Cálculo integral
El cálculo integral esencialmente calcula el área delimitada por la gráfica de una función y el eje x.
Cuando queremos calcular el área bajo una curva y no tenemos una fórmula directa (que en su mayoría no tenemos para funciones complicadas), básicamente dibujamos rectángulos que se extienden entre la curva y el eje xy luego agregamos las áreas de todos ellos, como este gráfico a continuación:

http://spiff.rit.edu/classes/phy…

Ahora, como puede ver, cuanto más delgado sea cada rectángulo, más preciso será su cálculo del área debajo de la curva. En la integración, hace que los rectángulos sean infinitamente delgados y luego suma el área de cada uno de ellos. Como los rectángulos son infinitamente delgados, esta adición nos dará el área exacta debajo de la curva. Esta adición de rectángulos infinitamente delgados es un proceso complicado conocido como integración o cálculo integral.

Espero que responda tu pregunta. 🙂

Answer 2

Trataré de ilustrar esto usando matemáticas discretas básicas.

considere las series 4, 7, 10, 13, 16, …
Puedes ver el patrón subyacente, ¿sí? Al identificar este patrón, su intuición básicamente diferencia la secuencia. El patrón que identificó es que la diferencia entre números consecutivos es 3.

Si escribo esta serie en forma de función, será la siguiente:
y = 1 + 3 * x donde x representa el índice del número. Diferencie esto y tiene 3, el número que su intuición identificó.

Esta es una gran simplificación de la diferenciación, pero creo que lo explica hasta cierto punto.

La mejor manera en que he llegado a comprender la diferenciación en la vida real es el proceso mediante el cual identifica patrones subyacentes en los eventos que ocurren a su alrededor. Y la integración es cómo aplica estos patrones que identificó en una situación que es diferente pero análoga a la original. Esta aplicación es similar a especificar el límite y las condiciones iniciales en un problema de integración.