¿Puede esta suma infinita: [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {e ^ {- n} \ sin ^ 2 (nx)} {n} [/ matemáticas] expresarse en términos de funciones elementales?

Answer 1

Responder :

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {e ^ {- n} \ sin ^ 2n x} {n} = \ frac {1} {4} \ ln \ left | \ frac {\ cos2x – \ cosh 1} {1- \ cosh 1} \ right | [/ math]

Prueba:

Empecemos desde

[matemáticas] f (y, t) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty e ^ {- nt} \ sin 2n y [/ matemáticas]

Usando relación

[matemáticas] \ sin 2n y = \ frac {e ^ {2iny} -e ^ {- 2iny}} {2i} [/ math]

y la serie geométrica

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ \ infty z ^ k = \ frac {1} {1-z} [/ matemáticas]

Obtendremos (te dejaré las partes detalladas para que lo pruebes tú mismo)

[matemática] f (y, t) = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {\ sin2y} {\ cosh t- \ cos2y} [/ math]

Dejar

[matemáticas] F (x, t) = \ int_0 ^ xf (y, t) \, dy [/ matemáticas]

Usando la sustitución [math] u = \ cosh t- \ cos2y [/ math], la integral se puede evaluar fácilmente. Tenemos

[matemáticas] F (x, t) = \ frac {1} {4} \ ln \ left | \ frac {\ cos2x- \ cosh t} {1- \ cosh t} \ right | [/ math]

pero también tenemos

[matemáticas] F (x, t) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {e ^ {- nt} \ sin ^ 2n x} {n} [/ matemáticas]

donde integramos la forma en serie de [math] F (x, t) [/ math] y usamos la identidad trigonométrica [math] 2 \ sin ^ 2 \ theta = 1- \ cos2 \ theta [/ math].

Poniendo [math] t = 1 [/ math], esto completa la prueba.

Answer 2

Llama a la suma f (x). Entonces primero calculamos:
[matemáticas] f ‘(x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty e ^ {- n} \ sin (2nx) [/ matemáticas]
Entonces puede usar [math] \ sin (a) = \ operatorname {Im} (\ mathrm {e} ^ {ia}) [/ math], donde [math] \ operatorname {Im} [/ math] significa parte imaginaria . Esto proporciona [math] f ‘(x) = \ operatorname {Im} \ left \ {\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ mathrm {e} ^ {- n} e ^ {2inx} \ right \} [ / math], que se simplifica a
[math] f ‘(x) = \ operatorname {Im} \ left \ {\ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ left (\ mathrm {e} ^ {2ix-1} \ right) ^ n \ right \ }[/matemáticas]
Podemos calcular la suma (es la serie geométrica):
[math] f ‘(x) = \ operatorname {Im} \ left \ {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2ix-1}} {1- \ mathrm {e} ^ {2ix-1}} \ right \}[/matemáticas]
Esto se reduce a
[matemáticas] f ‘(x) = \ frac {\ mathrm {e} \ cdot \ sin (2x)} {\ mathrm {e} ^ 2 + 1-2 \ mathrm {e} \ cdot \ cos (2x)} [/matemáticas]
Todo lo que queda es encontrar el anti-derivado.