¿Cuáles son algunos de los usos del producto de matriz de entrada ‘ingenuo’ [matemáticas] (A \ circ B) _ {ij}: = a_ {ij} \ cdot b_ {ij} [/ matemáticas]?

Answer 1

Como dice Babis Tsourakakis, lo que usted llama el producto de matriz ‘ingenuo’ en realidad se llama el producto Hadamard o Schur , generalmente denotado por [math] A \ circ B [/ math]. Para que tal producto sea posible, [math] A [/ math] y [math] B [/ math] deben tener el mismo tamaño (a diferencia del producto matricial habitual, donde pueden existir productos de matrices de diferentes tamaños).

Uno de los mejores usos del producto Hadamard [matemática] A \ circ B [/ matemática] es el siguiente teorema bastante importante (¡al menos, para mi tesis!):

Teorema : si [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​matrices tales que [matemática] AB [/ matemática] es una matriz cuadrada, entonces la traza de [matemática] AB [/ matemática] es igual a la suma de todas las entradas de [matemáticas] A ^ T \ circ B [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que un corolario inmediato del teorema anterior es que la traza de [math] AB [/ math] es igual a la traza de [math] BA [/ math], aunque [math] AB \ ne BA [/ math] en general (de hecho, ¡incluso podrían tener diferentes tamaños!). Esto se deduce de la conmutatividad del producto Hadamard, que en realidad se deduce de la conmutatividad del operador de multiplicación del campo del que se toman las entradas.

Answer 2

Este producto se conoce como el producto Schur o Hadamard de dos matrices. Aquí hay un primer teorema no trivial que tiene varias aplicaciones. Si A, B son semidefinidos positivos, también lo es la matriz C = A (producto ingenuo) B.
Si desea obtener más información, un buen punto de partida (como siempre) es el producto Hadamard (matrices) de la página de Wikipedia.