¿Por qué no multiplicamos dos matrices al igual que sumar dos matrices?

Usted puede. Hay varias formas diferentes de “multiplicar” matrices o de definir un “producto matricial”.

El que está proponiendo se llama producto Hadamard (matrices).
(ver también Multiplicación matricial). También hay un producto Frobenius y un producto Kronecker, que también difieren de la definición común de productos matriciales.

El artículo principal sobre la multiplicación de matrices explica por qué la definición más conocida de multiplicación de matrices es tan frecuente:

Uno puede formar muchas otras definiciones. Sin embargo, la definición más útil puede estar motivada por ecuaciones lineales y transformaciones lineales en vectores, que tienen numerosas aplicaciones en matemática aplicada, física e ingeniería. Esta definición a menudo se llama el producto matriz.

Por el contrario, el producto Hadamard tiene un conjunto muy limitado de aplicaciones:

El producto Hadamard aparece en algoritmos de compresión con pérdida como JPEG. El paso de decodificación implica un producto de entrada por entrada, es decir, un producto Hadamard.

Puede, se llama producto Hadamart o Schur. Nadie le impide usarlo, si el resultado le resulta útil de alguna manera. Hay muchos casos en los que el producto Hadamart representa la operación que realmente desea que calculen sus matrices.

Si desea llamar a esa operación solo “producto”, entonces solo ha logrado sobrecargar al operador del producto; no ha cambiado nada acerca de los resultados de cada producto y su utilidad.

Para el álgebra lineal, la definición más útil es el proceso que permite una transformación lineal. Una de las más simples podría ser rotar un vector 2D en el plano xy en un ángulo A o llevar (x, y) al vector rotado (u, v).
Si P es el vector (x, y) escrito como un vector de columna; y Q es el vector de columna para (u, v) luego sigue

u = xcosA + ysinA
v = -xsinA + y cosA

o Q = MP donde M es la matriz de 2 x 2 dada por los senos y cosenos en las posiciones como se muestra con la colocación de las dos ecuaciones directamente arriba.

Cuando realizas dos transformaciones una tras otra; luego tomas las matrices de 2 x 2 para cada una de las transformaciones y las multiplicas usando la regla ‘extraña’ que tenemos. La matriz 2 x 2 resultante es la transformación única que es equivalente a realizar las dos transformaciones de una vez.

Es posible que dos transformaciones realizadas en un orden diferente no le den el mismo resultado final. Esto se verá cuando los dos productos de matrices que representan estas transformaciones no se conmutan.

El producto de matriz se define de la manera en que es fácil el proceso de encontrar la forma de matriz de composiciones de transformaciones lineales. Debido a esta definición de multiplicación matricial, la representación matricial de composiciones de transformaciones lineales es solo el producto de sus formas matriciales.
Como en otras respuestas, se pueden definir diferentes tipos de productos según sea necesario. Solo considérelos como operaciones binarias en lugar de productos en el sentido tradicional.

Por la misma razón, los vectores son multiplicados en la forma en que lo son. Definición y cálculo. El producto cruzado estándar es uno de los cálculos más comunes en álgebra lineal debido a lo útil que es. Le sugiero que investigue un poco sobre álgebra lineal y diferentes operaciones de matrices y vectores.

Eso se llama el producto Hadamard, como han dicho otros, o producto basado en elementos. Se usa para hacer cosas como hacer interacciones en modelos estadísticos lineales y puede usarlo para definir una “máscara” para, por ejemplo, poner a cero partes de una matriz mientras deja otras partes intactas.

¿Por qué no meas como mierda?