¿Cuál es la diferencia entre un operador de Hesse y Laplace?

Answer 1

La matriz de Hesse contiene más información que el operador de Laplace.

Para una función suave y multivariable que devuelve un escalar, la matriz de Hesse contiene todas las segundas derivadas parciales posibles (es decir, cada posible emparejamiento de las variables)

Me recuerda a la matriz de covarianza en el sentido de que es simétrica y que cada elemento (i, j) representa una métrica conmutativa emparejada. El rastro del hessiano (la suma de los elementos diagonales) es el operador de Laplace.

El operador de Laplace también puede interpretarse como la divergencia ([math] \ nabla \ cdot [/ math]) del gradiente de una función. Esto es equivalente al producto escalar del gradiente con el gradiente de una función, [math] \ nabla \ cdot \ nabla f [/ math], que es equivalente a la suma de las derivadas de segundo orden, [math] \ sum_ { i = 1} ^ n \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2_i} [/ math].

Es algo así como la relación entre la matriz de covarianza y solo la suma de la varianza de las distribuciones mulitivariadas.

Answer 2

La aplicación de un laplaciano a una función escalar devuelve la suma de segundas derivadas en cada componente y es un escalar. La aplicación de una arpillera a una función escalar devuelve una matriz de todas las combinaciones de segundas derivadas.