Advertencia : no soy un experto en este tipo de cosas. Puede haber un conjugado complejo que falta en alguna parte debajo.
Si tenemos un conjunto arbitrario [math] X [/ math], escriba [math] \ operatorname {Fun} (X, \ mathbb {C}) [/ math] para el espacio vectorial complejo de todas las funciones [math] X \ a \ mathbb {C} [/ math].
Dada una función simétrica positiva definida [1] [matemática] k: X \ veces X \ a \ mathbb {C} [/ matemática], escriba
[matemáticas] k_x: = k (-, x) \ in \ operatorname {Diversión} (X, \ mathbb {C}). [/ matemáticas]
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El teorema de Moore-Aronszajn dice que la finalización [matemática] H [/ matemática] del espacio vectorial
[matemáticas] H_0: = \ operatorname {span} \ {k_x \; El | \; x \ in X \} \ subseteq \ operatorname {Diversión} (X, \ mathbb {C}) [/ math]
bajo el producto interno dado por
[matemáticas] \ langle k_x, k_y \ rangle: = k (x, y) [/ matemáticas]
es un espacio de reproducción del núcleo de Hilbert con el núcleo [matemática] k [/ matemática], y además que [matemática] H [/ matemática] es única hasta el isomorfismo de los espacios de reproducción del núcleo de Hilbert.
Si [math] H_0 [/ math] ya es de dimensión infinita, entonces, por supuesto, [math] H [/ math] también lo es. Por el contrario, si [math] H_0 [/ math] es de dimensión finita, entonces ya está completo. Por lo tanto, es suficiente determinar la dimensión de [matemáticas] H_0 [/ matemáticas].
[1] es decir, tal que la forma sesquilineal inducida en [matemática] H_0 [/ matemática] (definida a continuación) es positiva-definida.