Así que aquí está la explicación. Es un poco largo, pero creo que vale la pena entender las inversas de los operadores diferenciales. Usaré un ejemplo muy simple para ilustrar lo que significa el inverso de un operador diferencial. El ejemplo es tan simple que parecerá que está usando un canon para matar una mosca, pero a veces es una buena práctica comprender el método subyacente.
El ejemplo más simple sería considerar el ejemplo 1D, por lo que un operador [math] \ partial_x [/ math] por ejemplo. Ahora digamos que este operador actúa sobre el espacio de funciones, que etiquetamos como (las funciones, no el espacio) [math] \ psi (x) [/ math].
Si considera una ecuación diferencial lineal de primer orden
[matemática] \ partial_x \ psi (x) = J (x) [/ matemática]
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donde [math] J (x) [/ math] es alguna función conocida (a menudo llamada la fuente), y tenemos que encontrar la función [math] \ psi (x) [/ math]. Esta ecuación es fácil de resolver por integración simple
[matemáticas]
\ psi (x) = \ int \; J (x) dx + c \ ;,
[/matemáticas]
donde [math] c [/ math] es una constante determinada por las condiciones de contorno. Para aclarar el problema, digamos que tenemos [math] \ psi (0) = 0 [/ math], para que la solución se convierta
[matemáticas]
\ psi (x) = \ int_ {0} ^ x \; J (x ‘) dx’ \ ;.
[/matemáticas]
Sin embargo, hay otra forma de resolver este problema, y es mediante la búsqueda de un inverso del operador [math] \ partial_x [/ math]. Observe que la ecuación con la que comenzamos tiene una solución formal
[matemáticas]
\ psi (x) = \ partial_x ^ {- 1} J (x) + \ psi_h (x) \ ;,
[/matemáticas]
donde [math] \ psi_h (x) [/ math] satisface [math] \ partial_x \ psi_h (x) = 0 [/ math] y se conoce como la solución “homogénea”. Se puede comprobar que la ecuación anterior satisface la ecuación diferencial con la que comenzamos simplemente actuando con [math] \ partial_x [/ math] en la ecuación y tomando eso [math] \ partial_x \ partial_x ^ {- 1} = 1 [/ math ] lo que sea que eso signifique (ver abajo).
Pero todo esto es muy formal. Para llegar a algún lado tenemos que entender qué es este operador inverso. Hacer eso ayuda a pensar en la ecuación como una ecuación matricial, al discretizar el espacio. Entonces, en lugar de una variable continua [matemática] x [/ matemática], considere una variable [matemática] x_i [/ matemática] donde [matemática] i = 1, \ puntos, N [/ matemática] para algún número entero [matemática] N [ /matemáticas]. Entonces las funciones [math] \ psi (x_i) = \ psi_i [/ math] se pueden ver como [math] N [/ math] -dimensional vectores, mientras que un operador diferencial [math] \ partial_x [/ math] se puede ver como una matriz que actúa sobre el vector [math] \ psi_i [/ math] como
[matemáticas]
(\ partial_x \ psi) _i = \ psi_ {i + 1} – \ psi_i
[/matemáticas]
para que podamos tomar
[matemáticas]
(\ partial_x) _ {ij} = G_ {ij} = \ delta_ {i + 1, j} – \ delta_ {i, j}
[/matemáticas]
(Para hacer contacto con el hecho de que esta es una derivada, debo dividir lo anterior con [matemáticas] x_ {i + 1} -x_i [/ matemáticas] que puedo tomar como independiente de [matemáticas] i [/ matemáticas] e igual a algunos [matemática] \ epsilon [/ matemática]. No haré eso ya que no afectará nada de lo que diga y quiero mantener la notación concisa.)
Entonces, para encontrar un vector [math] \ psi_i [/ math] que resuelva la ecuación
[matemáticas]
(\ partial_x \ psi) _i = J_i
[/matemáticas]
donde [math] J_i = J (x_i) [/ math], todo lo que tenemos que hacer es encontrar un inverso de la matriz [math] (\ partial_x) _ {ij} [/ math], que etiquetamos como [math] G_ {ij} [/ math], y la solución de [math] \ psi_i [/ math] es
[matemáticas]
\ psi_i = \ sum_jG_ {ij} \ psi_j + \ psi ^ h_i
[/matemáticas]
donde [math] \ psi ^ h_i [/ math] resuelve [math] \ psi ^ h_ {i + 1} – \ psi ^ h_i = 0 [/ math], es decir, [math] \ psi ^ h_i = c [/ math ] donde [math] c [/ math] es alguna constante independiente de [math] i [/ math].
Sin embargo, nuestro problema original era encontrar una función [matemática] \ psi (x) [/ matemática], entonces lo que estamos buscando es una función [matemática] G (x, y) [/ matemática] para que podamos escribir
[matemáticas]
\ psi (x) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \; G (x, y) J (y) dy + c \ ;.
[/matemáticas]
Llamaremos a esta ecuación la ecuación maestra. Esto debería recordarle la ecuación que teníamos para el caso del espacio discretizado, excepto que ahora, en lugar de sumar sobre el parámetro discreto [math] j [/ math], tenemos una integral sobre un parámetro continuo [math] y [/ math] . La ecuación anterior también recuerda la solución que sabemos que debemos encontrar. Aplicar el operador [math] \ partial_x [/ math] a la ecuación anterior y exigir que satisfaga la ecuación con la que trabajamos es equivalente a exigir que
[matemáticas]
\ partial_x G (x, y) = \ delta (xy) \ ;.
[/matemáticas]
Pero tenga en cuenta que esta es solo la versión continua de la ecuación descreta
[matemáticas]
\ sum_j (\ partial_x) _ {ij} G_ {jk} = \ delta_ {ik}
[/matemáticas]
que es solo la afirmación de que la matriz [matemática] G [/ matemática] es inversa a la matriz [matemática] \ partial_x [/ matemática].
La versión continua puede resolverse simplemente con [matemática] G (x, y) = \ theta (xy) [/ matemática] donde
[matemáticas] \ theta (x) = \ begin {cases}
0 y x <0 \\
1 y x> 0
\ end {cases} [/ math]
es la función de paso Heviside.
Y he aquí, conectando esto con la ecuación maestra que tenemos
[matemáticas]
\ psi (x) = \ int _ {- \ infty} ^ x \; J (y) dy + c \ ;,
[/matemáticas]
que, al exigir que [math] \ psi (0) = 0 [/ math] se reduzca a
[matemáticas]
\ psi (x) = \ int_ {0} ^ x \; J (y) dy \ ;,
[/matemáticas]
que es lo que obtuvimos usando la integración directa.
Ahora, como dije al principio, esto está usando un canon para matar una mosca, pero el método que discutí aquí se puede usar para cualquier ecuación diferencial parcial lineal en cualquier dimensión espacial, es decir, para resolver cualquier ecuación de la forma
[matemáticas]
O \ psi (\ mathbf x) = J (\ mathbf x)
[/matemáticas]
donde [math] O [/ math] es un operador diferencial que actúa en el espacio parametrizado por un vector de coordenadas [math] \ mathbf x [/ math] (por ejemplo, un laplaciano o un gradiente).
Pero hay más, ya ves. La función [matemática] G (x, y) [/ matemática] en realidad se puede pensar como un tipo de función que propaga la perturbación de la fuente [matemática] J (x) [/ matemática] como la solución de [matemática] \ psi [/ math] tiene aproximadamente una forma [math] \ psi = GJ [/ math]. Si una función [matemática] J (x) [/ matemática] está localizada en alguna región del espacio, entonces [matemática] G [/ matemática] nos dice cómo afectará esta fuente [matemática] \ psi (x) [/ matemática] en alguna otra región del espacio. Por esta razón, la función se refiere a menudo en la literatura de física como “el propagador”, aunque este nombre es más común en la física de partículas relativistas donde los laplacianos 4D son comunes.
Uh … estoy cansado ahora. Espero que esto ayude.