Me gustaría agregar un poco más de intuición (altamente geométrica) a la última parte de la respuesta de David Joyce (la conexión entre una matriz que no tiene un inverso y su determinante es 0).
Me gusta pensar en el determinante como algo así como “cuánto espacio ocupa la combinación de los vectores de columna de una matriz, con respecto al espacio en el que estamos trabajando”.
Digamos que tenemos una matriz [matemática] 2 × 2 [/ matemática], [matemática] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ math]. El determinante se puede interpretar geométricamente como el paralelogramo formado al conectar las coordenadas (0,0), (a, b), (c, d), (a + c, b + d): /main-qimg-e83cfc2e8a79c57395b8bb7582b26b3a.png)
Ahora, supongamos que tenemos una matriz [matemática] 3 × 3 [/ matemática] formada por los vectores [matemática] \ vec {r_1}, \ vec {r_2}, \ vec {r_3} [/ matemática]. El determinante puede interpretarse geométricamente como el volumen del paralelepípedo formado por la combinación de los vectores en nuestra matriz 3 × 3: /main-qimg-75d361d8583456a1b269e11c8f414fea.png)
Esto se puede generalizar a dimensiones superiores.
Recuerde que una matriz solo puede ser invertible si es biyectiva : es decir, si el intervalo de los vectores que la componen es todo [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Es decir, si los vectores son linealmente independientes . El determinante nos dice si los vectores son linealmente independientes o no, por lo tanto, si su tramo es o no todo [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] y, por lo tanto, si la matriz es invertible.
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Si el determinante es distinto de cero, entonces los vectores son linealmente independientes. Si el determinante es cero, entonces al menos algunos de los vectores son linealmente dependientes. Si quieres pensar en esto geométricamente, imagina una matriz de 2 × 2:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 2 \\ 3 y 6 \ end {bmatrix} [/ math].
El tramo de los vectores de columna puede considerarse como la línea que cruza las coordenadas del vector de columna y el origen. Notamos que las líneas para (1,2) y (3,6) son iguales, lo que significa que sus tramos son iguales, por lo que son linealmente independientes. Geométricamente, no hay paralelepípedo formado por esta matriz; más bien, tenemos solo la línea que cruza a través de (1,2) y (3,6). Llamamos a esto un subespacio de [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. Por lo tanto, esto no tiene área en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. El determinante, sabemos, es cero. Esta matriz no es invertible.
El mismo caso se cumple en dimensiones superiores: en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], si los vectores de columna forman un subespacio (ya sea un paralelogramo o una línea), entonces el determinante es cero, por lo tanto la matriz es No invertible. Si los vectores forman un paralelepípedo, sabemos que abarcan todo [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], y tienen un determinante distinto de cero.
Caso similar en una matriz 4 × 4: si el subespacio es un paralelepípedo o un paralelogramo o una línea, el determinante es cero y la matriz no es invertible. De lo contrario, sus vectores abarcan todo [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] y es invertible. etc.
La clave aquí es notar que el determinante es distinto de cero en el caso en que los vectores de la matriz son linealmente independientes y, por lo tanto, las conexiones entre sus coordenadas forman un objeto que incorpora cada dimensión en su espacio respectivo , por lo que no forma un subespacio de su espacio respectivo. Esto se debe a que los determinantes dan una implicación de independencia lineal y, por lo tanto, surjection (y bijection (invertibilidad) como resultado). Podemos pensar en la surjection en términos de rango : si el rango de una matriz nxn es n, entonces sus vectores abarcan todo [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], lo que significa que es surjective (alguna combinación de coordenadas en el lapso golpean cada coordenada una vez Podemos deducir por la suposición que es invertible, dado que también es inyectable. Si el rango de la matriz es menor que n, sabemos que no es sobreyectivo, por lo tanto no puede ser biyectivo y no es invertible. Geométricamente, esto es lo que significa ser un subespacio : la combinación de coordenadas en el tramo de cada vector no afecta a todos los conjuntos de coordenadas en el espacio.
Esperemos que haya tenido una idea de la geometría de los determinantes y su conexión con la invertibilidad (y espero que no haya hecho nada malo aquí 🙂).
EDITAR:
Lea la respuesta de IJ Kennedy en stackexchange a una pregunta similar para comprender mejor por qué el determinante de una matriz [matemática] 2 \ por 2 [/ matemática] es el área de un paralelogramo con vértices formados por el origen, cada uno de sus diagonales entradas y las coordenadas correspondientes a la suma de los vectores de columna:
¿Por qué determinante de una matriz de 2 por 2 es el área de un paralelogramo?