Cómo invertir la matriz [matemática] \ begin {pmatrix} n & \ sum x_i \\ \ sum x_i & \ sum x_i ^ 2 \ end {pmatrix} [/ math] a mano

Answer 1

Usaré la fórmula que me recuerda Justin Rising para invertir una matriz cuadrada para mostrar que el estimador multidimensional [matemático] \ hat {\ beta} [/ matemático] para una regresión lineal es el mismo que el estimador unidimensional cuando establecemos [ math] p = 1 [/ math] en la matriz de diseño.

Para empezar, se puede mostrar usando algo de álgebra que para el problema de regresión multidimensional:

[math] \ hat {\ beta} = (X ^ TX) ^ {- 1} X ^ TY [/ math] (suponiendo que [math] (X ^ TX) [/ math] es invertible)

Apliquemos esto con su matriz de diseño. Primero, necesitamos introducir algunas anotaciones y resultados preliminares (en el primer paso factorizamos n):

[matemáticas] X ^ TX = n \ begin {pmatrix} 1 & \ overline {X_n} \\ \ overline {X_n} & \ frac {\ sum {x_i ^ 2}} {n} \ end {pmatrix} [/ math ],

donde hemos introducido la media empírica [matemáticas] \ overline {X_n}: = \ frac {\ sum {x_i}} {n} [/ matemáticas].

Así encontramos que:

[matemática] det (X ^ TX) = n ^ 2Var (X_n) [/ matemática] donde [matemática] Var (X_n): = \ frac {\ sum {x_i ^ 2}} {n} – \ overline {X_n} ^ 2 [/ matemáticas].

Inyectando todos los resultados anteriores en la fórmula, obtenemos:

[matemáticas] (X ^ TX) ^ {- 1} = \ frac {1} {nVar (X_n)} \ begin {pmatrix} \ frac {\ sum {x_i ^ 2}} {n} & – \ overline {X_n } \\ – \ overline {X_n} & 1 \ end {pmatrix} [/ math].

Ahora necesitamos calcular [matemáticas] X ^ TY [/ matemáticas]. Note primero que:

[matemáticas] X ^ T = \ begin {pmatrix} 1 & \ cdots & 1 \\ x_1 & \ cdots & x_n \ end {pmatrix} [/ math]

y

[matemáticas] Y = (y_1, \ cdots, y_n) ^ T [/ matemáticas].

Así:

[matemáticas] X ^ TY = (\ sum {y_i}, \ sum {x_iy_i}) [/ matemáticas] [matemáticas] ^ T [/ matemáticas].

Entonces finalmente:

[matemáticas] \ hat {\ beta} = \ frac {1} {nVar (X_n)} \ begin {pmatrix} \ frac {\ sum {x_i ^ 2}} {n} & – \ overline {X_n} \\ – \ overline {X_n} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ sum {y_i} \\ \ sum {x_iy_i} \ end {pmatrix} [/ math]

Haciendo algunas simplificaciones e introduciendo las siguientes dos notaciones

[matemática] Cov (X_n, Y_n): = \ frac {\ sum {x_iy_i}} {n} – \ overline {X_n} \, \ overline {Y_n} [/ math]

y

[matemáticas] Corr (X_n, Y_n): = \ frac {Cov (X_n, Y_n)} {\ sqrt {Var (X_n) Var (Y_n)}} [/ matemática], [

encontramos eso:

[matemáticas] \ hat {\ beta_0} = \ frac {\ overline {Y_n} \ sum {x_i ^ 2} – \ overline {X_n} \ sum {x_iy_i}} {nVar (X_n)} [/ math]
[matemáticas] \ hat {\ beta_1} = \ frac {Cov (X_n, Y_n)} {Var (X_n)} = \ frac {Corr (X_n, Y_n) sd (Y_n)} {sd (X_n)} [/ math ]

(donde hemos introducido la desviación estándar: [math] sd (X): = \ sqrt {Var (X)} [/ math]).

Después de algunas modificaciones más, también podemos mostrar que (dejado como ejercicio para el lector):

[matemáticas] \ hat {\ beta_0} = \ overline {Y_n} – \ hat {\ beta_1} \ overline {X_n} [/ math]

Estas son las fórmulas para la regresión lineal unidimensional con una intersección y una pendiente.

Espero que hayas disfrutado leyendo esto tanto como yo he disfrutado escribiéndolo.

---

Para obtener más recursos sobre la regresión lineal, como siempre puede leer sobre ella en esta página de Wikipedia:

Regresión lineal

Answer 2

Vale la pena memorizar que la inversa de una matriz de dos por dos [matemáticas] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} [/ math] viene dada por [math] \ frac {1} {ad – bc} \ begin {pmatrix} d & -b \\ -c & a \ end {pmatrix} [/ math]. Simplemente inserte valores en la fórmula y listo.

Tenga en cuenta que se garantiza que la matriz en este problema será invertible siempre que los datos no sean constantes.

Answer 3

Hay varios algoritmos en matemáticas para calcular A inversa, pero SIEMPRE tenga en cuenta que no todas las matrices son invertibles. Primero verifique si la Matriz es singular o no, es decir, el determinante, det (A)! = 0, si se cumple esa condición, entonces puede proceder a calcular A inversa .