No .. Requiere algunas modificaciones. Entonces te pido que sigas esto …
La forma más eficiente de evaluar un determinante 4 x 4 es usar la reducción de filas para crear ceros en una fila o columna, y luego usar la expansión por menores a lo largo de esa fila / columna.
Por ejemplo, que A sea la matriz:
3 2 -1 4
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2 1 5 7
0 5 2 -6
-1 2 1 0
Entonces, lo que nos gustaría hacer es reducir filas o columnas para que una fila / columna tenga tantos ceros como sea posible. Recuerde que intercambiar dos filas o columnas negará det (A), al igual que negará cualquier fila o columna de entradas. Multiplicar una fila o columna por una constante c también multiplica det (A) por c. Finalmente, agregar un múltiplo constante de una fila o columna a otra fila o columna no afectará
det (A).
Mirando la matriz anterior, notamos que al usar esta última regla podemos obtener que la primera columna sea:
0 0
0 0
0 0
-1
Agregamos 3 veces la fila 4 a la fila 1, que escribiré como R1 -> 3 * R4 + R1.
Esto cambia la fila 1 a:
0 8 2 4
y deja todo lo demás sin cambios. Luego agregamos 2 veces la fila 4 a la fila 2 (R2 -> 2R4 + R2), por lo que esto cambia la fila 2 a:
0 5 7 7
y nuevamente, todo lo demás no ha cambiado. Nuestra nueva matriz es:
0 8 2 4
0 5 7 7
0 5 2 -6
-1 2 1 0.
Esta matriz tiene el mismo determinante que A. Al expandirse por menores a lo largo de la primera columna, vemos claramente que los primeros tres términos en la columna 1 contribuirán con 0 al determinante, por lo que tenemos:
det (A) = – (- 1) det B = det (B)
donde B es el determinante 3 x 3:
8 2 4
5 7 7
5 2 -6.
(Observe que dado que -1 aparece en la 4ta fila de la columna 1, tiene un signo negativo delante de él en det (A)). Entonces det (B) se calcula fácilmente para ser:
det (B) = 8 * 7 * (- 6) + 2 * 7 * 5 + 4 * 5 * 2 – 5 * 7 * 4 – 2 * 7 * 8 – 5 * 2 * (- 6)
= -418.
En general, tendrá que ejercer un juicio para determinar qué filas o columnas reducir. La idea es que por cada 0 adicional que pueda obtener en una fila, elimine la necesidad de calcular otro determinante 3 x 3. Sin embargo, a veces es más fácil comenzar a expandirse por menores que intentar obtener otro 0, especialmente si debe agregar un múltiplo no entero a otra fila.
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