Si es cierto que el determinante de una matriz puede interpretarse como volumen, ¿puede considerarse como una medida?

Answer 1

La respuesta simple es sí. El determinante de una transformación lineal T (p. Ej., Matriz 2 × 2) es el área del paralelogramo con un vértice unido al origen y cuyos 2 vectores de borde se describen por sus componentes de fila. Los determinantes positivos corresponden a rotaciones en sentido antihorario, negativas a sentido horario.

El determinante de una transformación es más correctamente la relación del área del cuadrado de la unidad a la forma transformada final. Debido a que es una razón de dos áreas, si transforma un objeto geométrico en otro, el determinante también es la razón de sus áreas, o el factor de expansión de la transformación.

Más interesante, esto se aplica a las áreas (volúmenes …) de formas arbitrarias (posiblemente delimitadas, ¿simplemente conectadas?) En cualquier cantidad de dimensiones. Dejaré que los matemáticos profesionales intervengan aquí.

Como una nota al pie CG, el determinante del paralelogramo barrido por un mouse es una forma interesante de evaluar su movimiento (por ejemplo, det / diagonal). Parece que debería ser || AxB || / || A + B ||; ¿esto tiene nombre?

Answer 2

El primer problema es que el determinante está firmado. Bien, ¿qué pasa con el valor absoluto del determinante sobre el conjunto de n por n matrices? Bueno, por lo general, para que una medida sea interesante, debe definirse en conjuntos más grandes que los singletons. Podría definir una medida de un conjunto de matrices X para que sea la suma (o límite de la misma) de los valores absolutos de los determinantes de x en X. No estoy seguro de si eso es lo que le interesa y no sé si alguien alguna vez ha encontrado útil tal medida.