Para simplificar, suponga que el núcleo K induce una representación de características “finitas” de tamaño n.
Deje [math] \ Phi (x) = [\ phi_1 (x) \ phi_2 (x) \ ldots \ phi_n (x)] [/ math]
Entonces,
[matemáticas] K (x, x ‘) = \ langle \ Phi (x), \ Phi (x’) \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ n \ phi_i (x) \ phi_i (x ‘) [/ matemáticas]
donde [math] \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle [/ math] es el producto interno
Por lo tanto,
[matemáticas] G (x, x ‘) = K (x, x’) + 3.14 [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {i = 1} ^ n \ phi_i (x) \ phi_i (x ‘) + 3.14 [/ matemáticas]
[matemática] = \ sum_ {i = 1} ^ n \ phi_i (x) \ phi_i (x ‘) + \ sqrt {3.14} * \ sqrt {3.14} [/ math]
[matemática] = \ sum_ {i = 1} ^ n \ phi_i (x) \ phi_i (x ‘) + \ sqrt {3.14} * \ sqrt {3.14} [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {i = 1} ^ {n + 1} \ phi_i (x) \ phi_i (x ‘) [/ matemáticas]
donde [matemáticas] \ phi_ {n + 1} (x) = \ sqrt {3.14} [/ matemáticas]
Por lo tanto, el mapa inducido es
[matemáticas] [\ phi_1 (x) \ phi_2 (x) \ ldots \ phi_n (x) \ phi_ {n + 1} (x)] [/ math]
Es decir,
[matemáticas] [\ Phi (x) \ sqrt {3.14}] [/ matemáticas].
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En general, puede mostrar que la suma de dos núcleos es simplemente una concatenación de las representaciones de características inducidas correspondientes. Es decir, si [math] K_1 (x, x ‘) [/ math] induce la representación de características [math] \ Phi (x) [/ math] y [math] K_2 (x, x’) [/ math] induce la característica representación [matemáticas] \ Psi (x) [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] G (x, x ‘) = K_1 (x, x’) + K_2 (x, x ‘) [/ matemáticas] induce la representación de características [matemáticas] [\ Phi (x) \ Psi (x)] [/ matemáticas].
Ejercicio: demuestre el resultado anterior para la suma de dos núcleos. (La prueba es similar a cómo mostramos K (x, x ‘) + 3.14).
Ejercicio: piense en lo que sucede con el producto de dos núcleos. Es decir, cuál es la representación característica inducida de [matemáticas] G (x, x ‘) = K_1 (x, x’) \ veces 3.14 [/ matemáticas] y, en general, [matemáticas] G (x, x ‘) = K_1 (x, x ‘) \ veces K_2 (x, x’) [/ math]?