Bueno, ese es un concepto mal definido desde mi perspectiva. (*)
La métrica es un tensor covariante de 2, es decir, puntual en [matemática] T_p ^ * M \ otimes T_p ^ * M \ cong \ operatorname {Hom} (T_p M, T_p ^ * M) [/ math], siendo esto un Natural isomorfismo No se puede hablar de valores propios allí.
Tal vez esté pensando en transformarse implícitamente en [math] \ operatorname {End} (T_p M) [/ math], pero esa operación no es natural ya que requiere el uso de la métrica en sí (subir y bajar índices).
En el proceso de aplicar una transformación antinatural, pierde información sobre la métrica: su endomorfismo es solo el mapa de identidad [matemática] T_p M \ a T_p M [/ matemática] (si su métrica es riemanniana, de lo contrario obtendrá algunas reflexiones).
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Si toda esta jerga es un truco para ti, solo piensa en cuánta libertad tienes para elegir las coordenadas. Puede hacer que cualquier métrica riemanniana se vea como [matemática] g_ {ij} = \ delta_ {ij} [/ matemática] o un millón de otras cosas, en su punto base.
La firma métrica, es decir, el número de “valores propios” positivos / negativos, por otro lado, es un número bien definido y que nos interesa.
(*) Actualización: entiendo que las personas en campos más aplicados (el aprendizaje automático viene a mi mente) tienen algún tipo de concepto de valores propios para los tensores. No estoy familiarizado con él, pero no puedo imaginar que haya interpretaciones geométricas directas en la geometría riemanniana (por las razones que mencioné).