Álgebra lineal: ¿Cómo podemos probar que S es un conjunto que genera espacio vectorial V, si existe un subconjunto de S tal que sea una base para V?

Answer 1

Suponga que [math] S [/ math] es un conjunto generador de un espacio vectorial no vacío [math] V [/ math] sobre el campo [math] \ mathbb {K} [/ math], entonces S no está vacío. Deje que [math] B = \ {e_1, e_2, \ dots, e_n, \ dots \} [/ math] es un básico de S.

Para todos [math] v \ in V \ Rightarrow v \ in \ mathrm {span} (S) [/ math] por el supuesto. Entonces existen [math] m> 0, \ lambda_i \ in \ mathbb {K} [/ math] y [math] v_i \ in S [/ math] tal que:

[matemáticas] \ displaystyle {v = \ sum_ {i = 1} ^ {m} \ lambda_i v_i = [v_1, v_2, \ dots, v_m] [\ lambda_1, \ lambda_2, \ dots, \ lambda_m] ^ {T} } \ qquad (1) [/ math]

donde [math] \ displaystyle {i = \ overline {1, m}} [/ math]

Además, dado que [math] v_i \ en S [/ math] para [math] \ displaystyle {i = \ overline {1, m}} [/ math] también existe [math] p> 0, \ alpha_ {ij} \ in \ mathbb {K} [/ math] tal que:

[matemáticas] \ displaystyle {v_i = \ sum_ {j = 1} ^ {p} \ alpha_ {ij} e_j} [/ matemáticas]

Usando la notación matricial, logramos:

[matemáticas] \ displaystyle {[v_1, v_2, \ dots, v_m] = [e_1, e_2, \ dots, e_p] A ^ {T}} \ qquad (2) [/ math]

dónde:

[matemáticas] \ displaystyle {A = (\ alpha_ {ij}) _ {m \ veces p}} [/ matemáticas]

Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) para recibir:

[matemáticas] \ displaystyle {v = [e_1, e_2, \ dots, e_p] A ^ {T} [\ lambda_1, \ lambda_2, \ dots, \ lambda_m] ^ T} \ qquad (3) [/ math]

Porque [matemáticas] \ displaystyle {A ^ {T} [\ lambda_1, \ lambda_2, \ dots, \ lambda_m] ^ T = [\ beta_1, \ beta_2, \ dots, \ beta_p] ^ {T}} [/ math] . La ecuación (3) se convierte en:

[matemáticas] \ displaystyle {v = [e_1, e_2, \ dots, e_p] [\ beta_1, \ beta_2, \ dots, \ beta_p] ^ {T} = \ sum_ {k = 1} ^ {p} \ beta_k e_k } \ qquad (4) [/ matemáticas]

Esto muestra que [math] B [/ math] es un conjunto generador de [math] V [/ math]. Y debido a que el conjunto de vectores [matemática] B [/ matemática] es linealmente independiente por la construcción, entonces [matemática] B [/ matemática] es una base de [matemática] V [/ matemática]. Terminamos el poof [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]

Answer 2

Para espacios vectoriales de dimensiones finitas [matemáticas] V [/ matemáticas], esto es bastante fácil:

Deje que dim ( V ) = n . Elija un vector [matemática] s_1 [/ matemática] en [matemática] S [/ matemática], y deje que [matemática] S_1 [/ matemática] sea el lapso de [matemática] s_1 [/ matemática]. Note dim ([math] S_1 [/ math]) = 1. Si [math] S_1 = V [/ math], ya ha terminado: [math] \ {s_1 \} [/ math] es la base deseada. Si no, elija un vector en [matemáticas] S [/ matemáticas] que no esté en [matemáticas] S_1 [/ matemáticas], llámelo [matemáticas] s_2 [/ matemáticas]. Tal vector [matemática] s_2 [/ matemática] existe porque [matemática] S [/ matemática] genera [matemática] V [/ matemática] pero [matemática] S_1 \ neq V [/ matemática].

Haga lo mismo: deje que [math] S_2 [/ math] sea el lapso de [math] s_1 [/ math] y [math] s_2 [/ math]. Tenga en cuenta que dim ([math] S_2 [/ math]) = 2, y que [math] \ {s_1, s_2 \} [/ math] es una base para [math] S_2 [/ math]. Si [math] S_2 = V [/ math], ya está. De lo contrario, elija un [math] s_3 [/ math] y continúe la construcción.

Esta construcción se detiene después de muchos pasos ( n en particular) porque la dimensión de [math] S_i = i [/ math] , y el subespacio [math] S_i [/ ​​math] siempre está contenido en la dimensión finita V.

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Ahora, si permites que V sea ​​de dimensión infinita, es un poco más complicado. (Tenga en cuenta que si no es un experto en matemáticas, considere detenerse. Si es un estudiante de matemáticas pero no ha tomado una clase basada en pruebas, considere la posibilidad de descremar). Utilizamos la misma construcción general que el caso de dimensión finita, pero (como de costumbre) invocamos el lema de Zorn para llevarnos a casa.

Por lo tanto, considere el conjunto [math] \ mathbb {S} [/ math] de subconjuntos linealmente independientes de [math] S [/ math], ordenados por la inclusión de sus tramos. En otras palabras, declare [math] \ {s_1, s_2, \ ldots \} \ leq \ {r_1, r_2, \ ldots \} [/ math] si el lapso del primero es un subespacio del lapso del segundo. Cada cadena de [math] \ mathbb {S} [/ math] contiene un elemento máximo: la unión de todos los subconjuntos de la cadena. Por lo tanto, [math] \ mathbb {S} [/ math] contiene un elemento máximo por el lema de Zorn. Llámalo B , presagiando triunfante su estado como base de V.

Ahora estamos de vuelta en el caso de dimensiones finitas. Afirmo que B es una base de V. Por construcción, estamos a medio camino: B es linealmente independiente, porque es un elemento de [math] \ mathbb {S} [/ math]. Resulta que B abarca V por maximalidad: si B no abarcó V , entonces tome un vector v en V pero fuera del intervalo de B. El conjunto [math] \ {B, v \} [/ math] es un conjunto linealmente independiente que es más grande que B , lo cual es una contradicción porque B es máximo.

(Nota final: si no ha visto esto antes, esta es una aplicación absolutamente típica del lema de Zorn. De hecho, para un estudiante de matemáticas experimentado, simplemente diría “ordenar subconjuntos linealmente independientes mediante la inclusión de tramos, el lema de Zorn, la la la. “)

Answer 3

Si [math] S [/ math] genera [math] V, [/ math] toma [math] T \ subset X [/ math] de modo que [math] T [/ math] sea independiente y [math] T [/ matemática] es de tamaño máximo. No es difícil comprobar que [matemáticas] T [/ matemáticas] es una base para [matemáticas] V. [/ math] Como observó Charles, cuando [math] V [/ math] es de dimensión infinita, debe reemplazar el máximo en tamaño por el máximo y usar el lema de Zorn, pero la idea es la misma.

Answer 4

Por definición, si un subconjunto de S es una base para V, entonces el lapso de S es V (suponiendo, por supuesto, que S es un subconjunto de V, que usted no indicó).