Suponga que [math] S [/ math] es un conjunto generador de un espacio vectorial no vacío [math] V [/ math] sobre el campo [math] \ mathbb {K} [/ math], entonces S no está vacío. Deje que [math] B = \ {e_1, e_2, \ dots, e_n, \ dots \} [/ math] es un básico de S.
Para todos [math] v \ in V \ Rightarrow v \ in \ mathrm {span} (S) [/ math] por el supuesto. Entonces existen [math] m> 0, \ lambda_i \ in \ mathbb {K} [/ math] y [math] v_i \ in S [/ math] tal que:
[matemáticas] \ displaystyle {v = \ sum_ {i = 1} ^ {m} \ lambda_i v_i = [v_1, v_2, \ dots, v_m] [\ lambda_1, \ lambda_2, \ dots, \ lambda_m] ^ {T} } \ qquad (1) [/ math]
donde [math] \ displaystyle {i = \ overline {1, m}} [/ math]
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Además, dado que [math] v_i \ en S [/ math] para [math] \ displaystyle {i = \ overline {1, m}} [/ math] también existe [math] p> 0, \ alpha_ {ij} \ in \ mathbb {K} [/ math] tal que:
[matemáticas] \ displaystyle {v_i = \ sum_ {j = 1} ^ {p} \ alpha_ {ij} e_j} [/ matemáticas]
Usando la notación matricial, logramos:
[matemáticas] \ displaystyle {[v_1, v_2, \ dots, v_m] = [e_1, e_2, \ dots, e_p] A ^ {T}} \ qquad (2) [/ math]
dónde:
[matemáticas] \ displaystyle {A = (\ alpha_ {ij}) _ {m \ veces p}} [/ matemáticas]
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación (1) para recibir:
[matemáticas] \ displaystyle {v = [e_1, e_2, \ dots, e_p] A ^ {T} [\ lambda_1, \ lambda_2, \ dots, \ lambda_m] ^ T} \ qquad (3) [/ math]
Porque [matemáticas] \ displaystyle {A ^ {T} [\ lambda_1, \ lambda_2, \ dots, \ lambda_m] ^ T = [\ beta_1, \ beta_2, \ dots, \ beta_p] ^ {T}} [/ math] . La ecuación (3) se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle {v = [e_1, e_2, \ dots, e_p] [\ beta_1, \ beta_2, \ dots, \ beta_p] ^ {T} = \ sum_ {k = 1} ^ {p} \ beta_k e_k } \ qquad (4) [/ matemáticas]
Esto muestra que [math] B [/ math] es un conjunto generador de [math] V [/ math]. Y debido a que el conjunto de vectores [matemática] B [/ matemática] es linealmente independiente por la construcción, entonces [matemática] B [/ matemática] es una base de [matemática] V [/ matemática]. Terminamos el poof [matemáticas] \ cuadrado [/ matemáticas]