¿Por qué el producto escalar y el producto cruzado de un vector no son iguales?

Answer 1

7.8.2016 – ¿Por qué el producto escalar y el producto cruzado de dos vectores no son iguales?

Un número se especifica por una magnitud y un signo. Así a = 2, y b = -3. El producto de dos números está determinado por las magnitudes y los signos. Así (-3) x (-4) = (-) (-) (3) (4) = 12.

Un vector en el espacio euclidiano de cualquier número de dimensiones se especifica por una magnitud y una dirección.

En el espacio tridimensional, la dirección del espacio euclidiano se especifica mediante dos parámetros independientes. Por lo tanto, podríamos esperar dos tipos de productos de vectores. La aplicación sugiere dos tipos: dados dos vectores, cada uno de magnitud dada, (a) un producto escalar , una magnitud cuyo valor es máximo cuando los vectores son paralelos y (b) un producto vectorial , un vector, cuya magnitud es máxima cuando los vectores son perpendiculares y cuya dirección es perpendicular al plano que contiene los dos vectores.

Las ocurrencias típicas del producto escalar o puntual se encuentran en fórmulas para (1) trabajo realizado por una fuerza F en un desplazamiento r y (2) proyección de un vector V en una dirección marcada por un vector d .

Las ocurrencias típicas del vector o producto cruzado están en fórmulas para (1) el momento de una fuerza F sobre un punto O dado un vector r desde O a la línea de acción de F (la dirección del producto vectorial en este caso especifica el orientación del momento) y (2) el área de un paralelogramo de lados dada por dos vectores A y B (la dirección del producto vectorial en este caso especifica la orientación del paralelogramo).

Por lo tanto, la razón de la diferencia entre los dos tipos de productos es que tienen diferentes significados y definiciones (y el producto de puntos es una magnitud, mientras que el producto cruzado es un vector)

Answer 2

Producto de punto

El producto de puntos es un producto de dos vectores donde uno de los dos vectores se resuelve de tal manera, que si el ángulo entre los 2 vectores es [matemático] \ theta [/ matemático] el componente coseno de uno de los vectores se superpone al otro vector.
El producto punto más famoso en toda la física podría ser:
[matemáticas] dW = F.dx = Fdx \ cos \ theta [/ matemáticas] [Dicho, F ‘ punto ‘ dx]

Donde F es la fuerza aplicada yx es el desplazamiento que produce el trabajo W.
Esta fórmula tiene sentido lógico, porque el trabajo realizado es esencialmente la fuerza (o el componente de la fuerza) que mueve un objeto a través de una distancia.

NOTA: [Un producto escalar de dos vectores no tiene una dirección, por lo que solo es escalar.]

Producto cruzado

El producto cruzado es el producto de dos vectores donde uno de los dos vectores se descompone de manera que si el ángulo entre ellos es [matemático] \ phi [/ matemático], el componente seno de uno de los vectores es perpendicular al otro vector. Sin embargo, la dirección del producto cruzado es perpendicular al plano de los dos vectores que se multiplican.

El par o cualquier análogo rotacional de las cantidades físicas traslacionales en mecánica se encuentran generalmente como un producto cruzado de dos vectores.

[matemáticas] \ tau = r \ veces F = rF \ sin \ phi \ hat {n} [/ matemáticas] [Dijo r ‘ cruz ‘ F]

NOTA: [El producto cruzado no es un escalar, t es un vector que apunta en la dirección perpendicular al plano de los 2 vectores. [[matemáticas] \ hat {n} [/ matemáticas]]]

Si hay dos vectores que se multiplican. Es decir, tenemos que encontrar su producto cruzado y su producto escalar, la única forma en que las ‘magnitudes’ pueden ser iguales es si el ángulo entre los 2 vectores que se multiplican es [matemática] \ pi / 4 [/ matemática] en cuyo caso, [math] \ sin (\ pi / 4) [/ math] y [math] \ cos (\ pi / 4) [/ math] dan el mismo valor.

Answer 3

El producto escalar de dos vectores es un número único (un escalar) y el producto cruzado de dos vectores es otro vector. Truco: mira las definiciones y la razón a partir de ahí.
El producto de puntos responde a la pregunta, “¿Cuánto de la flecha A se resuelve a lo largo de la flecha B”? Esta pregunta tiene una respuesta simétrica (conmutativa) ya que la cantidad que la flecha A resuelve a lo largo de la flecha B es la misma que la cantidad que la flecha B resuelve a lo largo de la flecha A.
El producto cruzado responde a la pregunta, “¿Cuál es la flecha, si existe, que sobresale del plano formado por la rotación de la flecha A hacia la flecha B”? Esta pregunta tiene una respuesta anti-conmutativa ya que si gira la flecha A hacia la flecha B forma una nueva flecha C apuntando hacia arriba, luego girando B hacia la flecha A forma una nueva flecha C apuntando hacia abajo. Entonces, la pregunta podría hacerse, “¿Hay alguna circunstancia bajo la cual las respuestas podrían ser las mismas?” y la respuesta es “No” ya que la respuesta al producto escalar es un número y la respuesta al producto cruzado es un vector y esos nunca son el mismo tipo de cosa. Por cierto, el producto cruzado solo funciona con vectores con 3 o más elementos y no en todas las dimensiones superiores. Ver producto cruzado

Answer 4

¿Por qué la suma y la multiplicación no son lo mismo? Se definen como diferentes operaciones.

Answer 5

Lo interesante del producto cruzado es que no se puede definir correctamente en dimensiones diferentes a 3. (no se puede encontrar una regla de composición que tenga las mismas propiedades del producto cruzado).
El producto punto está definido correctamente para todas las dimensiones (¡incluso para dimensiones infinitas!)