¿Qué son las bases duales y los espacios duales?

Answer 1

El espacio dual [matemático] V ^ * [/ matemático] de un espacio vectorial real dimensional [matemático] n [/ matemático] [matemático] V [/ matemático] es el espacio vectorial de funcionales lineales en [matemático] V [/ math], es decir, asignaciones lineales de [math] V [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math]. Suponga que [math] v_1, v_2, \ ldots, v_n [/ math] es una base para [math] V [/ math] para que cada vector [math] v \ en V [/ math] pueda escribirse como [math ] v = a_1 (v) v_1 + a_2 (v) v_2 \ cdots + a_n (v) v_n [/ math] para algunos números reales [math] a_j (v) [/ math]. Como funciones de [math] v [/ math], estos coeficientes [math] a_j (v) [/ math] son ​​lineales y, por lo tanto, viven naturalmente en el espacio dual [math] V ^ * [/ math]. Esta es una forma natural de producir elementos de [matemáticas] V ^ * [/ matemáticas].

De hecho, cada elemento distinto de cero de [math] V ^ * [/ math] puede ser pensado de esta manera. Esto se debe a que, si [math] a (v) [/ math] es una función lineal no nula en [math] V [/ math], tiene rango 1 y su espacio nulo es [math] (n-1) [/ math] -dimensional. Por lo tanto, podemos encontrar una base [math] v_1, v_2, \ ldots, v_n [/ math] de [math] V [/ math] para que [math] v_2, \ ldots, v_n [/ math] genere el espacio nulo de [ matemáticas] a (v) [/ matemáticas] y [matemáticas] a (v_1) = 1 [/ matemáticas]. Al descomponer un vector en términos de esta base, podemos identificar la [matemática] a (v) [/ matemática] funcional con la [matemática] a_1 (v) [/ matemática] funcional en la construcción del párrafo anterior.

Finalmente, observe que especificar los valores de un vector lineal funcional en base a [math] V [/ math] determina el funcional de manera única. Como resultado, dada una base [matemática] v_1, \ ldots, v_n [/ matemática] de [matemática] V [/ matemática], los funcionales [matemática] a_1, \ ldots, a_n [/ matemática] que construimos en el primero el párrafo forma una base para [matemáticas] V ^ * [/ matemáticas]. Esto se debe a que [matemática] a_j (v_k) = 1 [/ matemática] si [matemática] j = k [/ matemática] y [matemática] 0 [/ matemática] de lo contrario, para cualquier función lineal [matemática] a [/ matemática] en [matemática] V [/ matemática], podemos escribir [matemática] a = a (v_1) a_1 + a (v_2) a_2 + \ ldots + a (v_n) a_n [/ matemática]. La base [math] a_1, \ ldots, a_n [/ math] se denomina base dual para [math] V ^ * [/ math] correspondiente a la base [math] v_1, \ ldots, v_n [/ math] para [ matemáticas] V [/ matemáticas].

Espero que haya ayudado!

Answer 2

El espacio dual más simple sería mapas lineales de ℝ¹ → ℝ¹. Consiste en verbos como “doble”, “triple”, “cuádruple” , etc., en lugar de números como 2, 3, 4, etc.

En la multiplicación multidimensional , reemplazamos [matemática] y = mx [/ matemática] por [matemática] y = [M] x [/ matemática], donde [matemática] [M] [/ matemática] es una matriz. En el caso de los funcionales [math] [M] [/ math] necesita mapearse en una cosa unidimensional, por lo que el número de filas tiene que ser uno. (busque “vector de fila” en wikipedia / mathworld / etc y verá que multiplicar por él es sinónimo de un funcional lineal. es por eso). Un ejemplo real de esto sería ¿Qué MBA? le permite ponderar los diferentes factores según su preferencia. Mi amiga hizo una hoja de cálculo de diferentes ciudades a las que podría mudarse, asignó puntos / puntajes en diferentes factores (como el clima, el costo de vida, etc. a las 288 ciudades), y utilizó un “esquema de ponderación” (no he dicho multiplicación lineal o matricial, pero eso es lo que era). Los promedios ponderados de este tipo son bastante ubicuos una vez que los ha visto y sabe lo que está buscando.

¿Qué tal un espacio dual un poco más complicado? ¿Qué tal un espacio vectorial abstracto bidimensional [math] \ mathcal {V} \ to \ mathbb {R} ^ 1 [/ math] (nuevamente linealmente). Aquí hay una foto que hice de eso

con una explicación más larga aquí: un sudoku de funcionales lineales.

Así que elegí algunas bases ortogonales para [math] \ mathcal {V} [/ math] (para poder dibujarlo) y luego asigné a cada uno de esos puntos basados ​​un número real.

El hecho de que lo hice linealmente se puede ver si eliges un número y luego comienzas a caminar hacia el este. Siempre es + 4 + 4 + 4. Camina hacia el norte siempre es + 1 + 1 + 1. Si caminas hacia el noreste siempre es + 5 + 5 + 5. Esto, y el hecho de que 0 está en el centro, te dice que la función [math] \ lambda [/ math] es lineal.

De modo que funcional [math] \ lambda [/ math] es un elemento del espacio dual desde dos dimensiones. Estoy seguro de que podría descubrir cómo definir la suma y la multiplicación de ese tipo de cosas de una manera que tenga sentido, por su cuenta.

HTH.

Answer 3

Imaginamos la existencia de un espacio vectorial V con una base de vectores [math] \ vec {v_1}, \ vec {v_2}, \ vec {v_3}… \ vec {v_n} [/ math]. Un espacio dual es un conjunto de funciones que son simplemente mapas lineales de V a [math] \ mathbb {R} [/ math].

Por ejemplo, con vectores tridimensionales, cualquier vector
[math] \ vec {w} [/ math] induce una función [math] \ phi _ {\ vec {w}} (\ vec {v}) = \ vec {w} \ cdot \ vec {v} [/ math ]

Tenga en cuenta que el vector [math] \ vec {w} [/ math] y [math] \ phi _ {\ vec {w}} [/ math] son ​​entidades asociadas. Por el producto punto, un vector se convierte en funcional. Del mismo modo, una matriz de fila multiplicada por una matriz de columna del mismo tamaño produce una operación similar.

Esto es lo que queremos decir con dual : los funcionales operan en el espacio vectorial original, y podemos (al menos en el caso de las dimensiones finitas) crear un funcional a partir de un vector. Además, para mantener las cosas claras, podemos designar la función creada por el vector [math] \ vec {w} [/ math] como [math] w ^ {*} [/ math]. Entonces podemos decirlo de esta manera:
La función [math] \ vec {w ^ {*}} [/ math] se puede escribir como
[matemáticas] \ vec {w} ^ {*} {\ vec {v}} = \ vec {w} \ cdot \ vec {v} [/ matemáticas]

Es fácil ver cómo los factores de base originales se asignan a funciones de base dual y, en el caso de dimensiones finitas, que estas bases serían del mismo tamaño.

Si todos tienen dimensiones infinitas o coeficientes complejos, entonces las cosas son un poco más complicadas. Así que lee la historia completa en Dual Space