¿Cuáles son las matrices con determinante 1?

Answer 1

Tratemos de responder esta pregunta sin ningún conocimiento externo.

Se nos da una matriz con un determinante de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Inferimos que es una matriz cuadrada no singular. ¿Podemos inferir algo más?

Bueno, podemos deducir, por ejemplo, que el inverso mismo también tendrá un determinante de [math] 1 [/ math]. Esto se debe a que [matemática] \ det (A ^ {- 1}) = \ dfrac {1} {\ det (A)} = \ dfrac {1} {1} = 1 [/ matemática].

¿Qué pasa con los productos de tales matrices? ¿Tendrán también un determinante de [matemáticas] 1 [/ matemáticas]? Sí, lo harán, porque [math] \ det (AB) = \ det (A) \ det (B) = 1 \ times 1 = 1 [/ math].

Además, claramente la matriz de identidad es una de esas matrices con un determinante de [math] 1 [/ math], ya que el determinante de una matriz diagonal es el producto de sus entradas diagonales, que son todas en este caso.

Genial, entonces hemos formado un grupo bajo multiplicación matricial. Tenemos cierre (el producto de dos matrices de determinante [matemática] 1 [/ matemática] es otra matriz de determinante [matemática] 1 [/ matemática]), asociatividad (en virtud de la multiplicación de matriz), la existencia del elemento de identidad ( la matriz de identidad) y la existencia de inversos que también tienen determinante [matemática] 1 [/ matemática].

De hecho, este grupo tiene un nombre: se llama grupo lineal especial.

Answer 2

En realidad, una matriz numerosa podría ser con el determinante 1. Pero hay cierto tipo de matriz conocida como matriz de permutación.

Una matriz de permutación de NxN se define por un solo 1 en cada fila y columna y el resto de los elementos son cero (una matriz muy escasa). Para una matriz de permutación NxN (N> 1) , hay N! combinaciones. Y los determinantes de la mitad (0.5 * N!) De esos son: +1.

Answer 3

Hay infinitamente muchos. Para comenzar: cualquier matriz de identidad.

Answer 4

El grupo de Lorentz, SO (1,3) o SO (3,1) dependiendo de su convención métrica para el tensor métrico como se aplica a la relatividad especial, es un conjunto de transformaciones matriciales con un determinante de 1.

Answer 5

Las matrices elementales del primer tipo (matrices de suma de filas en el artículo de Wikipedia) tienen determinante 1. Por el contrario, el conjunto de matrices con determinante 1 es generado por dichas matrices (sobre un campo).

Answer 6

Descubrí que son equivalentes a matrices unimodulares (con determinante +/- 1) y tienen entradas enteras.

Matriz unimodular

Answer 7

Todas las matrices de rotación tienen un determinante con signo de unidad de magnitud. Es decir, el valor de todas las matrices de rotación es uno, pero dependiendo de la orientación resultante inducida por la rotación, puede ser negativo o no.