¿Cuál es el significado intuitivo de rango de una matriz? ¿Cómo interpreto realmente cuál es el rango de una matriz?

Answer 1

No sé si hay un significado intuitivo único. Hay muchas explicaciones que me parecen intuitivas. Uno que me gusta es el siguiente. Considere una matriz [matemática] M [/ matemática] con filas [matemática] m [/ matemática] y columnas [matemática] n [/ matemática]. Entonces se puede definir un mapeo [matemático] f: R ^ n \ rightarrow R ^ m [/ matemático] por [matemático] f (\ textbf {x}) = M \ textbf {x} [/ matemático]. Entonces el rango de [matemáticas] M [/ matemáticas] es la dimensionalidad de la imagen de [matemáticas] f [/ matemáticas].

Otra explicación intuitiva (al menos para mí) es que, usando el mismo mapeo que el anterior, el rango de [matemáticas] M [/ matemáticas] es [matemáticas] n [/ matemáticas] menos la dimensionalidad del núcleo de [matemáticas] f [/matemáticas]. (El núcleo de una asignación es el conjunto de puntos que se asignan a [math] 0 [/ math]).

No me gusta la explicación de que el rango (fila / columna) de una matriz es “el número de linealmente independientes (filas / columnas)” porque el concepto de “linealmente independiente” es un poco complicado. En particular, creo que la intuición ingenua se descompone para la matriz cero (todos los elementos son [matemática] 0 [/ matemática]). El rango de la matriz cero es [matemática] 0 [/ matemática], pero intuitivamente uno piensa que el conjunto de todo cero (filas / columnas) debe estar representado por uno (fila / columna), por lo que la (fila / columna) el rango debe ser [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Pero eso no es lo que significa “independencia lineal” aquí.

Answer 2

Para agregar a la respuesta de David Joyce, considere una matriz [math] 3 \ times 3 [/ math] [math] \ mathbf {A} [/ math] como una transformación lineal de [math] \ mathbb {R} ^ 3 \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] y deje que el rango de la transformación sea [math] \ mathbb {M} [/ math] donde [math] \ mathbb {M} \ subseteq \ mathbb {R} ^ 3 [ /matemáticas].

La dimensión del espacio [math] \ mathbb {M} [/ math] sería el rango de [math] \ mathbf {A} [/ math].

El (espacio de la columna) de las columnas de la matriz [math] \ mathbf {A} [/ math] determinaría [math] dim (\ mathbb {M}) [/ math].

Si [math] dim (\ mathbb {M}) = 2 [/ math], entonces la transformación resulta en aplastar [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] a un plano [math] \ in \ mathbb { R} ^ 3 [/ matemáticas]. Del mismo modo, si [math] dim (\ mathbb {M}) = 1 [/ math], la transformación resulta en la compresión de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] a una línea [math] \ in \ mathbb {R} ^ 3 [/ math].

Si [math] dim (\ mathbb {M}) = 0 [/ math], entonces [math] \ mathbf {A} [/ math] debe ser nulo.

Entonces, para decirlo, si el espacio de columna de [math] \ mathbf {A} [/ math] abarca [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] entonces, las columnas de [math] \ mathbf {A } [/ math] debe ser Linealmente independiente y [math] \ mathbf {A} [/ math] sería un rango completo. Si exactamente una de las columnas se puede escribir en términos de otra columna, el rango de dicha transformación sería igual a [math] 2 [/ math], es decir, el resultado de la transformación sería un plano en [math] \ mathbb { R} ^ 3 [/ matemáticas].

Answer 3

Answer 4

El objetivo principal de las matrices es describir transformaciones lineales de manera concisa.

Una matriz [math] m \ times n [/ math] describe una transformación lineal [math] T: \ mathbf R ^ n \ to \ mathbf R ^ m. [/ Math] La imagen de [math] T [/ math] es un subespacio de [math] \ mathbf R ^ m. [/ math] La dimensión de ese subespacio se denomina rango de transformación [math] T. [/ math] El rango de la matriz es el mismo que el rango de La transformación lineal.