¿Cómo explicar intuitivamente las normas matriciales? Además, ¿cómo son útiles en la práctica?

Answer 1

Veamos las normas de la matriz inducida por vectores:

En un espacio vectorial de dimensiones finitas, la norma de la matriz inducida por el vector nom se define como:

[matemáticas] || A || = \ max_ {|| x || = 1} || Axe || \ tag * {} [/ math]

(para un espacio vectorial dimensional infinito, el máximo solo se convierte en un sup)

Puede encontrar el valor de una norma de matriz para una matriz A dada geométricamente mediante:

1. Graficando la esfera unitaria para la matriz
2. Encontrar la imagen bajo la transformación y = Ax
3. Encontrar el máximo de [matemáticas] || y || [/ matemáticas]

Veamos un ejemplo:

[matemática] A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \ end {bmatrix} \ tag * {} [/ math]

A continuación, he usado a Julia para trazar tanto la esfera de la unidad como su transformación para la norma 1, la norma 2 y la norma infinita:

En cuanto a cómo son útiles en la práctica: las normas definen la longitud y la distancia para espacios vectoriales y sus operadores lineales. Esto puede usarse, por ejemplo, para analizar la convergencia de las series de potencia. Otra aplicación muy importante que viene a la mente es el análisis numérico, donde las normas de la matriz se utilizan para el análisis de sensibilidad.

Answer 2

Me atendré a las normas de la matriz inducida.

Intuitivamente, las normas vectoriales dan la longitud de un vector y las normas de la matriz indican cuánto podría estirar esa matriz un vector. Piense en una matriz como un operador lineal que estira y aplasta una esfera unitaria en un elipsoide. La norma euclidiana de la matriz es el radio más grande del elipsoide. Por ejemplo, una matriz unitaria asigna una esfera unitaria a una esfera unitaria, y su norma euclidiana es 1. Por cierto, un determinante de una matriz (que no es una norma de matriz) da el volumen del elipsoide.

Las normas de matrices son útiles porque se pueden usar para comparar y clasificar diferentes matrices. También se pueden usar para hacer estimaciones sobre cálculos matriciales. Se utilizan para el análisis de sensibilidad. Todos estos usos están relacionados con la medición del tramo más grande.

Answer 3

Cualquier matriz nxn es isomófica a R ^ n ^ 2. Por ejemplo, cualquier matriz de 2 x 2 puede verse como un elemento en R ^ 4. Luego aplique el producto interno estándar en R ^ 4 y luego calcule la norma.