Sabemos que la divergencia de un rizo es cero, pero ¿cómo será esto cierto si un vector cuyo rizo está definido, también se expande y se contrae?

Su pregunta es realmente acerca de una intuición geométrica de lo que están haciendo estos operadores. Espero que esto ayude.

Feynman Lectures on Physics es un gran recurso para ayudar a cualquiera a través del cálculo vectorial. De ahí viene esta línea de argumento.

Toda electrostática es divergencia.
Señala que una carga estática tiene una ley de fuerza cuadrada inversa que está exactamente dirigida radialmente. Este es un ejemplo de un campo con una divergencia distinta de cero y un rizo cero. Por lo tanto, toda la electrostática deja de decir que la divergencia del campo eléctrico de un electrón no es cero, pero el rizo debe ser cero. Eso es lo mismo que una fuerza que es completamente radial.

Es decir, si imagina una esfera que rodea una carga de fuente estática, e imagina una segunda carga de prueba más pequeña en la superficie de esa esfera ubicada en el extremo del vector radial [math] \ mathbf {r} [/ math] conectando la carga de origen a la carga de prueba, ahora si hace zoom en ese punto local a la carga de prueba, de modo que la superficie de la esfera es localmente bastante plana, mirando la esfera en un solo punto, notará que definitivamente puede definir un único plano tangente a la esfera en ese punto. Llame a ese plano [math] A (\ mathbf {r}) [/ math]. Es tangente a la esfera en el punto definido por [math] \ mathbf {r} [/ math] y depende del vector, [math] \ mathbf {r} [/ math].

Piense en la fuerza sobre su carga de prueba en ese punto desde una carga fuente ubicada en el centro de la esfera. Esa fuerza es exactamente radial, dirigida a lo largo de [math] \ mathbf {r} [/ math], podría repeler o atraer, pero es completamente radial.

Entonces, su carga de prueba tiene todos los componentes de la fuerza, [math] \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) [/ math] en ángulo recto con [math] A (\ mathbf {r}) [/ math], que fue definido por la esfera. Es decir [math] \ mathbf {F} [/ math] es una fuerza puramente radial. Eso es lo mismo que decir que la fuerza electrostática es una divergencia distinta de cero (hay una fuerza radial) pero tiene una curvatura cero (es solo una fuerza radial).

Esto mismo va a ser cierto en todos los puntos de la misma esfera, así que no importa dónde coloque su carga de prueba, eso probará el caso. Una fuerza puramente radial está en ángulo recto con la superficie plana definida por esa esfera imaginaria, para una carga de prueba colocada en un punto de la superficie de la esfera.

Toda la magnetostática es curl
Todos los magnetostáticos provienen del tipo de restricción exactamente opuesta.

Ahora necesita algo que pueda manejar fuerzas magnéticas, dipolares y pares que se ejercen sobre otros dipolos magnéticos, los imanes pueden ejercer cambios en el momento angular en otros imanes, es decir, una brújula es girada por un imán, como la tierra, simplemente moviéndose alrededor del tierra puedes rotar tu brújula.

Para este tipo de fuerzas dipolares de tipo de torque que actúan, en su lugar tiene una ecuación adecuada para describir las fuerzas dipolares y dado que eso introduce la idea de rotación o circulación de un campo vectorial entre dos polos, eso significa que tiene fuerzas que forman bucles. ahora tiene componentes de fuerza en el plano de [math] A (\ mathbf {r}) [/ math]. Curl es su única herramienta analítica para la investigación de fuerzas que pueden tener circulaciones o bucles.

Entonces, esta idea de que los campos vectoriales pueden formar bucles cerrados, eso es lo que se analiza analíticamente cuando se busca la curvatura de cualquier campo vectorial. Ahora también puede ver por qué una fuerza radial no tiene curvatura, nunca puede formar un bucle cerrado a partir de cualquier campo vectorial que solo sea radial.

Entonces, en cierto sentido, se puede decir que un rizo es una prueba de los tipos de dipolos (u otros tipos de fuerzas no radiales). Más generalmente, el rizo de un campo vectorial prueba la aparición de bucles cerrados enterrados dentro de campos vectoriales que claramente no son solo campos vectoriales dirigidos radialmente.

Curl y div son complementos analíticos
Entonces, la electrostática es una fuerza de divergencia distinta de cero con un rizo cero. En magnetostatics tiene una fuerza que tiene un rizo distinto de cero pero una divergencia cero, de modo que los dos son opuestos exactos cuando se consideran una situación estática.

La divergencia es una descripción de esa parte de cualquier campo vectorial que no se curva.

Curl es una descripción de esa parte de un campo vectorial que no es divergente, no apunta de ninguna manera en la misma dirección de la superficie de la esfera imaginaria. Se define así.

Juntos tienen una descripción completa de un campo electromagnético estático .

Si lo piensas, también proporciona una intuición de por qué una divergencia de un rizo está condenada a ser cero. ¿Qué parte de la superficie cerrada de la esfera donde está ocurriendo toda la circulación apunta en la misma dirección que la parte divergente (radial) de la fuerza? Ninguno en absoluto . El radio de una esfera siempre está en ángulo recto con el plano definido por el punto donde el radio toca la superficie esférica.

Esa es una forma geométrica de ver por qué el div del rizo tiene que ser cero, pase lo que pase.

Div (curl (V)) pregunta, esencialmente, ¿qué componente del radio de una esfera está en el mismo plano que es tangente a la superficie de la esfera en el punto donde golpea el radio? El sufragio de una esfera se define en realidad por tangentes a todos los radios, por lo que el radio y el plano tangente nunca pueden alinearse. Siempre serán ortogonales y eso significa que también deben tener un producto de punto cero. Pero eso es lo mismo que tomar el div del rizo.

Div y curl son, por su propia naturaleza, representaciones ortogonales de una imagen analítica más completa.

Es una imagen que solo está completa y que solo surge cuando estas dos vistas complementarias del mismo campo vectorial se suman para formar un análisis compuesto del comportamiento de todo el campo vectorial.

Y se comporta de tal manera que, en términos de física, las fuerzas dipolares se separan muy bien de las radiales en dos partes analíticas. Bastante mágico, de verdad.

Una fuerza puede tener tanto un rizo no nulo como un rizo distinto de cero y el electromagnetismo es, como ya lo han señalado otros, un excelente ejemplo de exactamente esto. Cuando permites que aparezca la imagen más completa, las cosas no son estáticas y obtienes dos ecuaciones más de div y rizo y el conjunto completo de las cuatro ecuaciones de Maxwell aparece, como ya se ha comentado en respuestas anteriores, por otros respondedores.

Mi 2c

Considere como ejemplo el campo magnético [math] \ vec {B} [/ math]:

El campo magnético se define como la curvatura del vector potencial [math] \ vec {A} [/ math].
Las ecuaciones de Maxwell nos dicen que la divergencia del campo magnético es siempre 0, por lo que este es un ejemplo físico de un campo vectorial ([math] \ vec {A} [/ math]) cuya divergencia de su curvatura es cero, pero con su rizo distinto de cero.

Tenga en cuenta que aquí el hecho de que la divergencia del campo magnético es cero no depende de si se expande o se contrae, de hecho, siempre es cero porque las líneas del campo magnético siempre están cerradas.

Como dice Joachim, la divergencia del rizo de un campo vectorial siempre es cero, pero la divergencia y el rizo pueden ser distintos de cero por sí mismos. Como ejemplo, considere las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctrico y magnético:

[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec E = \ frac {\ rho} {\ epsilon_0} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec B = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ nabla \ veces \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} [/ matemática]
[matemáticas] \ nabla \ veces \ vec B = \ mu_0 (\ vec J + \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ vec E} {\ partial t}) [/ matemática]

La divergencia de un rizo es cero, pero un campo vectorial puede tener una divergencia distinta de cero y un rizo distinto de cero.