Este es un gran tema, pero déjame ver si puedo llegar a una versión de términos simples (pido disculpas a cualquier matemático si lo estropeo; corrígeme si me equivoco :))
La verdadera respuesta aquí es el teorema de Hurwitz (álgebras de composición), pero eso es mucho vocabulario y álgebra para analizar.
En su lugar, escojamos un ejemplo de la vida real: las rotaciones.
Las rotaciones deben ser:
- Cómo calcular una matriz de Vandermonde
- ¿Cuáles son las interpretaciones de las matrices individuales de SVD (descomposición de valores singulares)?
- ¿Es la multiplicación escalar con un vector conmutativa o no? ¿Por qué?
- ¿Se puede definir un vector en un espacio vectorial sobre un campo que tiene un solo componente o es entonces solo un elemento del campo?
- ¿Cuáles son los teoremas o propiedades importantes de los valores propios de la matriz de adyacencia para un gráfico?
- Posible de tal manera que se pueda deshacer la rotación de algo; puede girarlo invirtiendo sus pasos. (es decir, no sufres pérdida de información).
- Composable: cualquier rotación que pueda obtener rotando algo dos, tres veces, cuatro veces … es algo que puede hacer con una sola rotación si la gira de la manera correcta.
- Rígido. Es decir, una rotación no deforma algo ni lo traduce.
Resulta que para realizar una rotación rígida, que es componible, y también biyectiva (es decir, que se puede deshacer sin pérdida de información), solo puede hacerlo si tiene cierto número de variables de contabilidad. (o, si lo prefiere, componentes vectoriales).
Sin ese número, terminas con la pérdida de información.
Por ejemplo, echemos un vistazo a las rotaciones 3D. Pegue una bandera de golf en la parte superior de una esfera, en el polo norte. La bandera apunta al este.
Gírelo en sentido horario (un rollo alrededor del ecuador) 90 grados. La bandera está ahora al este del ecuador, apuntando hacia abajo.
Gírelo en sentido horario alrededor del polo norte 90 grados. La bandera está ahora al oeste del ecuador y apunta hacia abajo.
Gírelo nuevamente en el sentido de las agujas del reloj (un rollo alrededor del ecuador). Esto debería llevarlo de regreso a donde estaba, y lo hará. Excepto que ahora la bandera apunta hacia el oeste, en lugar de hacia el este.
Digamos que solo teníamos tres variables para el estado de la bandera: el punto en la esfera donde está plantada. Perderíamos información sobre la orientación de la esfera sobre ese punto, por lo que si había estado mirando África antes, ahora está mirando a China, pero nuestro modelo no tiene forma de representar esa información.
Con la variable adicional, la rotación de la superficie en la que está incrustado el punto, tiene la información adicional necesaria. No tiene una solución “degenerada”: tiene todo lo que necesita no solo para identificar dónde se encuentra ahora, sino también para revertir la operación si lo desea. ¿Sin ello? Debe adivinar, porque tiene múltiples soluciones que conducen al mismo estado.
Esa es, en última instancia, la raíz de esto; para un espacio N dimensional en el que los objetos N-dimensionales pueden rotarse sin deformación, o plegándose en sí mismos de formas extrañas, o rotando dando múltiples resultados diferentes, necesita información adicional. Simplemente termina que para el espacio euclidiano, necesita 1, 2, 4 u 8 parámetros para hacerlo y aún así mantener todo coherente.
(Otra forma de ver esto es que es similar al problema del bloqueo del cardán; terminas con soluciones en las que múltiples rotaciones en diferentes ejes se mapean en la misma rotación resultante, lo que conduce a una pérdida de grados de libertad. Para mantener tus grados de libertad, necesita más información del estado).