¿Cuál es el significado de las distribuciones Wishart y Wishart inversa en el modelado lineal generalizado?

Las distribuciones de Wishart se muestran en el análisis multivariado porque son la familia de distribución natural para las matrices de covarianza de muestras que provienen de muestras del gaussiano multivariado. Esto es análogo al chi cuadrado para las variaciones univariadas en las muestras del gaussiano univariado. Son, en ese sentido, una generalización particular de la distribución de chi cuadrado. Por lo tanto, aparecerán donde sea que el gaussiano multivariado sea un modelo útil.

Ver, por ejemplo, Mardia KV, Kent JT y Bibby JM. (1979) Análisis multivariante . Londres: Academic Press, Capítulo 3.

También se usan como un previo multivariado para matrices de covarianza en el muestreo de MCMC, según la otra respuesta, que menciona el problema pero no termina el punto. Hay problemas con eso como previo porque la elección de Wishart inversa puede ser sorprendentemente restrictiva. Remito a los lectores a La distribución previa de Wishart inversa a escala para una matriz de covarianza en un modelo jerárquico: modelado estadístico, inferencia causal y ciencias sociales en el blog de Andrew Gelman, y enlaces posteriores.

Las distribuciones Wishart (e inv Wishart) surgen en 2 entornos populares.
En primer lugar, en el ámbito de las comunicaciones inalámbricas, donde la física del desvanecimiento inalámbrico da como resultado la aparición orgánica de estas distribuciones durante el análisis métrico y, en segundo lugar, en el mundo Stat / ML, donde se insertan como previos estilizados en una matriz de covarianza faltante porque es conveniente hacerlo debido a que la distribución posterior resultante es fácil de muestrear (y la computación analítica de la media-bla, bla, bla, bla).
He tratado con ellos en la primera configuración y, por lo tanto, sigue el resto de la respuesta:
En los sistemas de comunicaciones inalámbricas MIMO (entrada múltiple y salida múltiple, pronunciado “mee-moh”) con antenas de transmisión T y antenas receptoras R, a menudo se utiliza el siguiente modelo:
[matemáticas]
y = Hx + w.
[/matemáticas]
Aquí, [math] x [/ math] es el vector transmitido T x 1, [math] y [/ math] es el vector R x 1 recibido, [math] w [/ math] es el R x 1 Gaussian (térmico ) vector de ruido y [matemática] H [/ matemática] es la matriz de ganancia del canal R x T.
Se ha considerado razonable modelar los elementos de esta matriz de canales como variables aleatorias gaussianas complejas cuando el entorno de propagación se caracteriza por un cierto fenómeno denominado desvanecimiento de Rayleigh (desvanecimiento de Rayleigh).
Entonces, por definición, si H es gaussiano complejo, HH † resulta ser Wishart distribuido.
¿Por qué nos interesa HH †?
Bueno, se puede demostrar que las métricas de rendimiento cruciales, como la capacidad ergódica y la tasa de error de símbolos, se pueden expresar en términos del PDF conjunto del espectro de HH †. Además, si está utilizando un receptor óptimo de combinación de relación máxima (MRC), la relación señal / ruido instantánea (SNR) en la salida de este receptor MRC es proporcional al radio espectral de HH †.
Del mismo modo, si H es gaussiano complejo, [matemática] (H † H) ^ {- 1} [/ matemática] resulta ser inversamente distribuida por Wishart. Se puede demostrar que las métricas como la probabilidad de interrupción, etc., dependen del espectro de esta matriz distribuida inversa de Wishart.