Estoy aprendiendo que hay muchas nociones diferentes de campos en matemáticas, como los campos de Galois, los campos escalares, los campos finitos, etc. ¿Están todas estas nociones interconectadas de alguna manera?

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Campos de Galois y campos finitos sí. Para los campos escalares, la identidad del nombre es una coincidencia.

Un campo escalar es una variedad de los objetos llamados campos, que se definen como asignaciones que asignan a cada punto de un espacio, o un plano, (o un múltiple) un vector, un tensor o un número. Los campos vectoriales generalmente se representan así

entonces de cada punto tienes una flecha que comienza en ese punto. Si en lugar de las flechas solo tiene un número real (también llamado escalar en este contexto), entonces tiene un campo escalar.

El otro tipo de campos son algo completamente diferente. Un campo es una estructura matemática en la que puede calcular como en los números reales, es decir, hay una suma y una multiplicación definidas, y las leyes de cálculo típicas (conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicación, ley distributiva, existencia de un 0 y un 1 con sus propiedades típicas).

Ejemplos comunes de campos son los reales, los números complejos, los números racionales, pero también el conjunto de todas las funciones racionales reales. Todos estos campos tienen infinitos elementos. Pero sucede que puedes construir campos con muchos elementos, los campos finitos. Los más pequeños consisten solo en los dos elementos 0 y 1. Obviamente, usted tiene 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 * 0 = 0 * 1 = 0 * 0 = 0 si lo desea que sea un campo Si define 1 + 1 = 0, encontrará que llegó a un campo.

Como resultado, cada campo finito tiene una cardinalidad de potencia principal, y para cada potencia principal solo hay un campo (hasta la isomorfía). El nombre “campo” es una especie de accidente histórico. EH Moore lo acuñó en inglés, el nombre original en alemán es “Körper” (‘cuerpo’), tan engañoso como el otro.

” Campo de Galois ” es solo otro nombre para un campo finito.