Cómo normalizar un vector complejo

Answer 1

Puede haber más de un posible candidato para lo que usted llama un “vector complejo”, pero todo se reducirá a esto. Para su vector y su espacio vectorial, tendrá algún tipo de función de producto interno que cuantifica la proyección de un vector sobre otro. En el antiguo espacio cartesiano, con los vectores X = [x1, x2, x3 …] e Y = [y1, y2, y3 …], el producto interno es solo x1y1 + x2y2 + x3y3 ++ …. La ‘norma’ o longitud del vector se utiliza para normalizar el vector al convertirlo en un vector que apunta en la misma dirección, pero con una ‘norma’ o longitud de 1. La norma de un vector es la raíz cuadrada de su vector. producto interno consigo mismo. En el ejemplo anterior, || X || = SQRT (x1 ^ 2 + x2 ^ 2 + x3 ^ 2 ++ ..). Es el teorema de Pitágoras llevado a N dimensiones.

Si, por vector complejo, quiere decir un vector donde los coeficientes son números complejos, entonces cada uno de esos coeficientes tiene dos datos en lugar de uno, por lo que necesita una forma consistente de definir cuál es el producto interno y qué significa, que idealmente se relaciona con la información que se mantiene en los coeficientes. Es fácil ver si se trata de flechas direccionales cartesianas con valores reales, pero ¿qué significaría si, dijiste que dijiste que el vector era (2 + 4i, 1–2i, 7,13–8i)? Recuerde que los vectores pueden significar todo tipo de cosas. Esta podría ser una descripción de la amplitud y fase de un conjunto de tonos y sobretonos para representar cómo construiría una forma de onda a partir de las frecuencias base. Entonces, el producto interno puede decirle cuál es la amplitud (y quizás también la fase) de un vector representado por los componentes del otro. La norma podría ser una medida de cómo se sumarían todas esas frecuencias oscilantes en un momento particular en el tiempo.

Como posible punto de partida, cuando se busca la amplitud de un número complejo, se comienza multiplicando por su conjugado y tomando la raíz cuadrada. Entonces, si tiene (A + iB), multiplique por el conjugado (A-iB), que (esto debería sonar familiar) norma = SQRT (A ^ 2 – (i ^ 2) * (B ^ 2)). Como ‘i’, la raíz cuadrada de (-1) al cuadrado es, por definición (-1), esto se convierte en norma = SQRT (A ^ 2 + B ^ 2) y volvemos a Pitágoras. Un cálculo de fase de theta = Arc_Tan (B / A) le permitirá representar el número complejo en forma polar Norma * exp (i * theta).

Si hay múltiples coeficientes complejos, puede hacer una norma de componente por componente (perder toda la información de fase, o podría haber algún otro orden de operaciones que retendría la información hasta más adelante en el proceso. Dependerá de cómo su espacio vectorial y las matemáticas de apoyo se configuraron en primer lugar

Supongo que eso se reduce, un poco, a ‘depende’, pero espero que ahora tenga algunas ideas para refinar su pregunta o abordarla. 🙂

Answer 2

Mira si estás buscando un método fácil, entonces sí, hay un método fácil =

1. ¡Mire la pregunta si puede resolverse en una forma más simple, muévala!
2. Puede intentar racionalizarlo y después sería más fácil normalizarlo.