¿Cuáles son algunas aplicaciones del mundo real de cálculo multivariable, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, probabilidad y estadística, especialmente en Ingeniería Mecánica?

Answer 1

El álgebra lineal es inútil cuando puedes hacerlo a mano con menos confusión para resolver, por ejemplo, 3 ecuaciones y 3 incógnitas, pero es invaluable cada vez que usas una computadora para resolver un problema con más de 1,000,000 de incógnitas. Cualquier cosa, desde la aerodinámica, la transferencia de calor, el diseño de piezas mecánicas, la acústica, etc., se basa en definir un problema como una matriz que pueda ser resuelta por una computadora. Prácticamente todas las herramientas de ingeniería asistidas por computadora usan matrices. Incluso tiene herramientas genéricas como MATLAB donde se supone que cada variable definida es una matriz.

El cálculo multivariable y las ecuaciones diferenciales son útiles teniendo en cuenta que la mayoría de los fenómenos naturales no son lineales por naturaleza y se describen mejor mediante el uso de cálculos multivariables y ecuaciones diferenciales (especialmente la ecuación de Navier-Stokes). Incluso algo tan básico como la relación entre posición, velocidad y aceleración es la solución a una ecuación diferencial.

La probabilidad y la estadística son esenciales cuando se trata de resultados experimentales (que nunca coinciden perfectamente con la teoría) o con procesos industriales que son imperfectos por naturaleza.

Answer 2

Cálculo multivariable: el estrés a menudo depende de x, y y z. En muchos casos, puede reducirlo a x e y, pero eso sigue siendo 2 variables.
Ecuaciones diferenciales: muchos fenómenos son impulsados ​​por ecuaciones diferenciales. Como el calor, por ejemplo.
Álgebra lineal: si quieres resolver un problema, hay muchas posibilidades de que tengas que usar una computadora para resolver tus 100 000 ecuaciones. Eso requiere algo de álgebra lineal, como en FEM.
Probabilidad y estadísticas: no estoy especializado en ingeniería mecánica, por lo que este es un poco más difícil de responder para mí. Pero algunos análisis usan probabilidades para encontrar la posibilidad de falla. Uno de ellos es el método de Monte Carlo.

Answer 3

Las ecuaciones diferenciales se usan todo el tiempo cuando tiene algo que ver con las tasas que ocurren. Y dado que la ingeniería mecánica se trata de partes móviles, las ecuaciones diferenciales se usarán todo el tiempo, incluso si no considera alteraciones en la temperatura o cualquier otra cosa.

El cálculo multivariable se usa con frecuencia cuando desea tener en cuenta múltiples factores, y muy pocos dispositivos que he encontrado son tan simples que solo tiene un factor involucrado. En algunos sistemas tengo hasta 7 variables diferentes que debo tener en cuenta, sin embargo, muchos sistemas serán significativamente más simples con tal vez dos o tres dependientes, como tensión mecánica o tensión.

El álgebra lineal se usa a menudo para resolver múltiples ecuaciones simultáneas con relativa facilidad. También es bueno para encontrar la línea que mejor se adapte a los datos que reciba. Muy útil, especialmente si desea configurar su propio software de análisis, lo que puede ser útil en algunos casos en los que tomaría demasiado tiempo alterar un código existente para cada muestra.

Soy físico, pero me imagino que la probabilidad y las estadísticas se usarían en algunas situaciones para calcular que algo así como solo el 10% de los dispositivos se romperán en el momento x por garantías, etc. El método Monte Carlo y algunas otras técnicas le permiten obtener una buena idea de la vida útil de su producto. Esto se basa en estadísticas porque cada vez que construyes algo habrá diferencias en el producto debido a impurezas químicas y diferencias en la red cristalina de las estructuras que causan propiedades alteradas.

Answer 4

Gracias por A2A.

Como ingeniero mecánico, puedo decir que las matemáticas desempeñan un papel vital en todos los campos de esta rama a pesar del hecho de que hoy en día las computadoras y las calculadoras hacen todo el trabajo.

Veamos las aplicaciones del mundo real de cada sujeto desde el punto de vista del ingeniero mecánico:

1) Cálculo: sabiendo el hecho de que el cálculo le da la ventaja de estudiar el comportamiento que tiene una variación infinitesimal, podemos descubrir la transferencia de calor a través de un cuerpo que varía uniformemente, distribución térmica del condensador o capa aislante, cálculo de fuerza y ​​momento en el caso de vigas cargadas de forma variable y estructuras, etc.

2) Álgebra lineal: esta es una herramienta para reducir la mano de obra que se necesita incluso si tiene una computadora para ayudarlo. Como el álgebra lineal implica matrices para resolver ecuaciones, pueden ser un indicador de si un conjunto dado de ecuaciones puede resolverse o no y si tiene un conjunto único o infinito de soluciones, incluso sin resolverlas. Este truco no se puede hacer en calculadoras y, en general, mostraría “ERROR MATEMÁTICO”. Además de eso, el álgebra lineal se puede utilizar para comprender los gráficos de computadora que se implementan en softwares CAD como AutoCAD o CATIA, Creo / Pro-E, etc. Le dice cuáles serían las coordenadas de un objeto o imagen si se transformara (girara, reflejado, escalado o traducido) en un marco de referencias dado, sin entrar en la trigonometría y los cálculos geométricos. También le ayuda a encontrar los tensores de tensión-deformación de la estructura cargada mediante el análisis de elementos finitos 1-D o 2-D. Esto lo liberaría de todos los cálculos laboriosos innecesarios que haría de otra manera.

3) Ecuaciones diferenciales: supongamos que sé la tasa de aumento de temperatura por segundo y la temperatura inicial, ¿cómo voy a encontrar la temperatura después de que transcurran 10 segundos? Aquí es donde las ecuaciones diferenciales vienen en su ayuda. Suponiendo que conoce la variación de un parámetro con respecto a otro y las condiciones de contorno iniciales, las ecuaciones diferenciales se pueden formar y resolver para dar una relación completa entre las dos variables como una sola función. Esto se utiliza nuevamente para resolver ecuaciones de transferencia de calor, distribución de fuerza, flujo de fluidos, vibraciones y análisis de sistemas. También lo ayudan a comprender el comportamiento y la salida de dispositivos de control y sistemas mecatrónicos que funcionan en condensadores e inductores regidos por relaciones integrales y diferenciales entre corriente y voltaje.

4) Probabilidad y estadística: se requiere en el caso de la ingeniería industrial y la investigación de operaciones. La probabilidad se utiliza para comprender la fiabilidad y el período de vida de una estructura, máquina, sistema o proceso. Mientras que las estadísticas se aplican para descubrir errores y defectos en muchos productos o trabajos incluidos en la muestra. También son útiles para averiguar el porcentaje de error en una variable dependiente cuando se conoce el error en variables independientes.

Por ejemplo, en un experimento simple para encontrar el número de Reynold tenemos:
Número de Reynolds = (densidad X velocidad X diámetro) / viscosidad dinámica
Si tenemos valores experimentales de todos los errores de términos en el lado derecho, podemos calcular el error en el número de Reynolds usando los conceptos básicos de estadísticas y ecuaciones diferenciales al encontrar la desviación estándar y la media ponderada de todos los errores.

Se puede decir mucho sobre cada tema, pero supongo que esto es suficiente para tener una idea aproximada de lo que debe enfocarse y por qué es esencial estudiarlos desde el punto de vista de la ingeniería.

Aparte de esto, supongo que lo que ha respondido el usuario de Quora lo resume todo.

¡Espero que esto ayude!