¿El álgebra lineal es generalmente menos intuitivo que otras matemáticas? Ej. Cálculo.

Answer 1

El álgebra lineal es a menudo el primer curso que uno toma cuando hay un énfasis en pruebas rigurosas.

Los cursos anteriores enfatizan el cálculo por métodos que les dicen a los estudiantes que trabajen. Esto no es matemática, es esencialmente aritmética.

Por lo tanto, en cierto sentido, el álgebra lineal es a menudo el primer curso de matemáticas “real” que los estudiantes toman. Es un cambio sustancial en el ritmo de las matemáticas y el cálculo de la escuela secundaria, y puede ser difícil para los nuevos estudiantes.

La mecánica pura del álgebra lineal es muy básica, mucho más fácil que cualquier cosa sustancial en el cálculo. La dificultad es que el álgebra lineal se trata principalmente de comprender los términos y definiciones, y determinar qué cálculo es necesario para llegar a la respuesta deseada. Un estudiante en la mentalidad de “cálculo” de realizar cálculos sin pensar por qué los está haciendo tendrá un momento muy difícil.

Las pruebas son otra cosa completamente distinta. Los estudiantes en su primer curso con pruebas son, por regla general, terribles al escribirlos. En términos generales, todo en su página no tiene sentido. La única forma de mejorar es practicar. Si continúa con las matemáticas, encontrará que, en retrospectiva, las pruebas en álgebra lineal son en realidad la parte más fácil de todo el curso. Prácticamente cada prueba asignada en un curso de álgebra lineal tiene una prueba de una o dos líneas. Esto no impide que los estudiantes entreguen “soluciones” de una página.

En el esquema más amplio de las cosas, el álgebra lineal es extremadamente fácil. Es una de las mejores herramientas en el juego de herramientas de un matemático precisamente porque lo entendemos muy bien y se comporta muy bien. Una gran variedad de preguntas importantes en matemáticas puede reducirse a problemas de comprensión en álgebra lineal, y esto es frecuentemente útil porque las ideas del álgebra lineal son muy básicas y fáciles de entender.

Answer 2

En realidad, la mayoría de las matemáticas de pregrado, al menos los primeros 3 años, tienen porciones intuitivas y no intuitivas que dependen de la forma en que se diseñe la pedagogía. Y depende de lo que quieras decir con “intuitivo”: ¿quieres decir que algo es intuitivo cuando hay una imagen geométrica? ¿O lo dices como algo con lo que estás familiarizado? U otras nociones?

El cálculo es normalmente intuitivo en términos geométricos. Lo que significa que hay imágenes claras que puede dibujar con lápiz y papel e ilustrar los teoremas visualmente (para la mayoría, si no para todos los fines prácticos). El teorema del valor intermedio y la continuidad, por ejemplo, a menudo se ilustra con la ayuda de “dibujar un gráfico sin levantar un lápiz”. Muy intuitivo geométricamente, ya que probablemente hemos dibujado tales gráficos antes de algún tiempo en nuestra educación. Lo mismo para el cálculo multivariable en hasta 3 dimensiones: conocemos superficies, sólidos, etc. Las nociones de área de superficie y volumen se asientan geométricamente bien con nuestro uso diario.

El álgebra lineal a menudo se considera menos intuitivo por dos razones: (1) primer punto de partida típico para pruebas rigurosas reales, y (2) normalmente, no se puede dibujar nada como el cálculo. ¿Pero es realmente el caso? Depende de tu definición de intuición. Por ejemplo, la noción de independencia lineal, base y dimensión son bastante intuitivas si imaginas vectores habituales en 3 dimensiones (las que generalmente se usan en cursos de física), porque pueden representarse geométricamente. Y una vez que se acostumbra a escribir las matrices para varios objetos de álgebra lineal, a veces incluso las matrices y los vectores de columna se vuelven intuitivos, porque sabemos que podemos asociarlos con la intuición habitual de vectores como flechas y otras cosas. Conceptos como transformaciones lineales, etc. simplemente llevan las cosas a un nivel superior.

Incluso los cursos de matemáticas como matemáticas discretas, teoría de grafos, lógica son bastante intuitivos al principio, si estás acostumbrado a sus convenciones. La lógica, por ejemplo, parece una forma muy abstracta de escribir enunciados matemáticos. Pero una vez que está acostumbrado, se da cuenta de que no está haciendo nada más que traducir el uso diario, solo que de manera menos ambigua. Las pruebas de la teoría de grafos a menudo dependen de nuestra intuición de vértices, aristas y caras de objetos geométricos.

Permítanme sugerir una posible razón por la cual la mayoría de las personas pueden estar de acuerdo en que el cálculo es el más intuitivo, mientras que el álgebra lineal es uno de los menos. Personalmente, creo que esto se debe a que nuestro sistema educativo en la escuela secundaria / secundaria y preparatoria está orientado hacia cálculos que son más relevantes para usos futuros. La mayoría de las matemáticas de la escuela secundaria no enseñan lógica matemática básica, ni enseñan álgebra lineal o teoría de grafos y similares. Entonces seguramente las cosas más avanzadas como álgebra abstracta, topología, etc. estarán fuera de discusión. Enseñan vectores en 3 dimensiones, pero principalmente “la forma física”. El cálculo, por otro lado, es bastante completo y exhaustivo, menos las pruebas y los hechos en teoremas. Los cálculos en las lecciones de cálculo en la escuela secundaria son en su mayoría correctos y precisos. Entonces, en cierto modo, el cálculo es más intuitivo simplemente porque tenemos más experiencia con él, por defecto, incluso si es cierto que las matemáticas de la escuela secundaria no son rigurosas. Esa exposición adicional hace mucha diferencia, creo.

Answer 3

Sí, muchas personas consideran que el álgebra lineal es menos intuitivo que el cálculo, al menos al principio. Creo que hay dos fuentes principales de dificultad.

El primero es la alta dimensionalidad. Mientras que una gran cantidad de cálculos interesantes tiene lugar en la teoría de las funciones de una variable, que se grafica fácilmente en una hoja de papel, la teoría de los espacios vectoriales unidimensionales es completamente trivial y, por lo tanto, se omite de inmediato. Entonces, el punto de partida del álgebra lineal es típicamente el estudio de transformaciones lineales entre espacios bidimensionales , y ya, la gráfica de tal transformación se encuentra en un espacio 4-dimensional, que no se puede dibujar ni visualizar fácilmente. También hay fenómenos más complicados que surgen solo en dimensiones aún más altas. Entonces, los estudiantes principiantes, que han sido entrenados desde la infancia para visualizar funciones casi exclusivamente en términos de sus gráficos, se ven privados de inmediato de esta muleta. Por lo tanto, tienen que aceptar formas de visualización menos directas o confiar en manipulaciones algebraicas. El primero requiere cambios significativos de paradigma, y ​​el segundo es casi equivalente a renunciar a la intuición , una estrategia desastrosa a largo plazo.

La segunda dificultad es un poco más difícil de describir, pero llámela una especie de sobrecarga conceptual . La mayoría de los cursos introductorios de álgebra lineal utilizan la misma notación básica , matrices , para casi todo. Esto les da a los estudiantes la impresión de que están estudiando lo mismo una y otra vez, por lo que no están preparados para la dura realidad de que las matrices se usan para describir varios objetos conceptualmente dispares. Para empezar, mencioné las transformaciones lineales anteriores, pero también hay formas bilineales, que a menudo se consideran de manera bastante diferente. Una matriz simétrica, para tomar solo un ejemplo, puede denotar una forma bilineal simétrica en un espacio vectorial de huesos desnudos, o puede denotar un operador autoadjunto en un espacio interno real del producto. Sin una comprensión conceptual, el alumno se queda estudiando varias nociones de “equivalencia” de matrices, algunas dadas por conjugación por matrices invertibles, algunas por multiplicación por una matriz en un lado y su transposición (en lugar de su inversa) en el otro, algunas por ambas al mismo tiempo (es decir, conjugando por matrices ortogonales), algunas multiplicando por matrices ortogonales posiblemente no relacionadas a la izquierda y derecha, y así sucesivamente. Todo esto es bastante desconcertante y poco intuitivo, y desafortunadamente, la mejor manera de aclarar toda esta confusión, en última instancia, es introducir una gran cantidad de abstracciones y distinciones : espacios de vectores duales y transformaciones duales, productos y poderes tensoriales, espacios de productos internos versus vectores. espacios considerados sin estructura adicional, endomorfismos versus transformaciones entre diferentes espacios que simplemente tienen la misma dimensión, y así sucesivamente , lo que solo puede ser intimidante para el estudiante principiante.

Answer 4

Por el contrario, creo que hay una gran intuición que se puede obtener al final de un buen primer curso de álgebra lineal.

La sospecha de que el álgebra lineal es menos intuitiva que otras áreas podría estar justificada por los primeros temas en muchos cursos de álgebra lineal: después de todo, parece que estás empujando alrededor de conjuntos de números usando reglas aparentemente arbitrarias, para llegar a un nivel aparentemente arbitrario objetivo: una “matriz de fila reducida”, la mayoría de las veces.

De acuerdo, tal vez no sea tan arbitrario, si lo piensas como resolver sistemas de ecuaciones lineales. Pero aún así, un poco arbitrario, ¿verdad?

Pero luego aprende sobre el verdadero pan y la mantequilla del álgebra lineal: espacios vectoriales, transformaciones lineales, invertibilidad, tramos, rango, núcleo, etc.

Enseñé álgebra lineal en la escuela de posgrado. El primer día, advertí a mis alumnos que las primeras dos semanas podrían parecer un trabajo de mono … manipulación sin sentido de símbolos. Pero les prometí que habrá cosas buenas en poco tiempo. Y cuando superamos todos esos conceptos de “pan y mantequilla”, en realidad tomé una conferencia o dos para discutir lo que llamé el “zen” del álgebra lineal: conectar la manipulación aparentemente sin sentido de los símbolos de las primeras dos semanas con los más abstractos vocabulario que acabábamos de aprender.

Una vez que obtienes el “zen” de todo, todo se vuelve trivial. (Bien, quizás no sea trivial … pero al menos claro). Creo que esa es la definición misma de una comprensión intuitiva.

Answer 5

Creo que el álgebra lineal es una de las asignaturas más intuitivas de las matemáticas. A mi modo de ver, el álgebra lineal es un vehículo para tomar ideas vívidas de la geometría (espacio, plano, línea, transformación) y, al hacerlas algebraicas, las generaliza a todo tipo de objetos, desde señales de audio, señales de radio, hasta corrientes. , a funciones, a conjuntos de números. Puede encontrar nuestra visión del álgebra lineal reflejada en la siguiente oferta en línea: lem.ma

Como aprenderá de nuestra presentación, el álgebra lineal es realmente uno de los temas más elegantes y perspicaces.

Answer 6

En mi opinión, si. Encuentro el cálculo muy intuitivo, y cuando superaba todas mis clases de cálculo, pensaba que era un genio de las matemáticas. Después de estudiar más matemáticas, descubrí que el cálculo en realidad es bastante fácil y no merece toda la exageración.

El álgebra lineal puede ser intuitiva al principio, pero puede volverse realmente abstracta muy rápidamente.

Sin embargo, algunas personas pueden pensar lo contrario. O simplemente piensa que ambos son muy intuitivos.

Answer 7

No para mí. Aprender álgebra lineal se sintió como si un pedazo de mi cerebro estuviera siendo liberado. Como si un duende me revelara los secretos del universo. Como pude ver en nuevas dimensiones y se había levantado una niebla. “Intuitivo” lo estaría poniendo suavemente.
(Me gusta bastante el álgebra lineal).

El cálculo también está bien. Pero el álgebra lineal fue el primer tema en matemáticas donde los axiomas se introdujeron por adelantado y los argumentos posteriores se dedujeron claramente de ellos. No ‘wlog’ o ‘cuya prueba está fuera del alcance’ o ‘obviamente’ o ‘es fácil de mostrar’ o cualquiera de esa basura.

Answer 8

Como estoy aprendiendo álgebra lineal por mi cuenta, quiero dar mi perspectiva. Algunas personas comentaron que esta fue la primera vez que encontraron pruebas y cosas así. Ahora, soy el tipo de persona que ama la computación por el simple hecho de hacerlo. Me gusta la teoría pero si no hay ejemplos claros y todos me perderé. En mi opinión, el álgebra lineal es interesante, pero no me parece intuitivo como el cálculo. Quiero decir, en serio, ¡uno puede imaginar fácilmente un montón de rectángulos debajo de una curva! Comprendí lo que significaban las derivadas, las integrales, etc. En álgebra lineal, los axiomas son tan ridículos. No los encuentro tan hermosos como los axiomas de Euclides. Después de leer Elementos de Euclides, encontré el estilo de prueba del matemático que lo escribió muy … aburrido. Podría ser parcial ya que no me gusta confiar completamente en lo que llamo “presentación algebraica”. Es más efectivo pero me resulta aburrido para ser honesto. Me gusta un estilo de prueba más Euclid.

Escriba ahora, estoy atrapado en el concepto de lapso. Quiero encontrar algunos ejemplos para entenderlo mejor.

Answer 9

No lo creo. El lado bueno del álgebra lineal es que se basa mucho más en trucos y hacks y por eso es más intuitivo. El cerebro humano está diseñado para encontrar la forma más corta de hacer el trabajo. Las teorías de cálculo también son geniales. Pero las partes computacionales del cálculo son tan aburridas como las cosas pueden ser. No enfrentaría muchos problemas emocionales al confiar completamente en Wolfram Alpha si no existiera el problema real de que deberíamos estar entendiendo las cosas. Además, en álgebra lineal, las personas piensan de manera abstracta, lo que también es más intuitivo.