¿Cuál es el significado de las matrices simplécticas?

Answer 1

Una matriz simpléctica satisface JJ ‘= I. (Se puede generalizar, pero no necesitamos hacer eso para explicar su significado). Bueno, primero tomemos un ejemplo simple y de valor real de una matriz simpléctica J:

[matemáticas] \ begin {array} {cccc} 0. & 0. & 0. & 1. \\ 0. & 0. & 1. & 0. \\ 0. & 1. & 0. & 0. \\ 1. & 0. & 0. & 0. \ end {array} [/ math]

Ahora, si tenemos una matriz 4 × 4 que satisface [matemáticas] JAJ ^ t = A [/ matemáticas] ¿qué dice eso sobre A?

Sugerencia: intente A de la siguiente manera:

[matemáticas] \ begin {array} {cccc} 1. & 2. & 3. & 4. \\ 2. & 1. & 2. & 3. \\ 3. & 2. & 1. & 2. \\ 4. & 3. & 2. & 1. \ end {array} [/ math]

Las multiplicaciones de matrices simples muestran que esto funciona. En general, la solución a JAJ ‘= A es una matriz centrosimétrica. Esta es una matriz que es simétrica cuando se voltea sobre el antidiagonal. Una matriz simétrica de Toeplitz como la que tenemos aquí es un ejemplo de dicha matriz. Las matrices de Toeplitz definen la clase de autocorrelaciones viables asociadas con un proceso estocástico estacionario que es un gran problema en procesos aleatorios en todo tipo de campos. (Ver mi libro “Detección y estimación de radar adaptativo” con S. Haykin, por ejemplo).

Es inmediatamente obvio que si JAJ ‘= A para cualquier matriz A, entonces JA = AJ, es decir, J y A conmutan. De esto se deduce inmediatamente (valores propios y vectores propios de matrices centrosimétricas simétricas) que los vectores propios de A satisfacen v = [matemáticas] \ pm [/ matemáticas] Jv. Sería complicado probarlo sin introducir operadores simplécticos.

En el libro de Génesis, la Deidad instruyó a Adán y Eva a nombrar a los animales y tener dominio sobre ellos. ¡Aquí se revela la sabiduría ancestral! De hecho, en matemáticas, ciencias y otros lugares, nombrar cosas tiene un poder increíble. Esto se debe a que establece una nueva granularidad de abstracción para sistemas adaptativos complejos.