Este es un concepto bastante básico en álgebra lineal. No estoy seguro de si puede probarlo gráficamente, pero seguramente puede ver por qué este es el caso. (Básicamente, habrá un poco de agitación manual involucrado en el argumento que sigue).
Ahora, para cada matriz A con dimensiones nxn, puede verla geométricamente en un espacio n-dimensional ([matemática] \ matemática {R} ^ {n} [/ matemática] si todos los números involucrados son reales). La matriz A actúa sobre un vector x en el espacio n-dimensional, y da un nuevo vector Ax en el mismo espacio. Todos los vectores x en el espacio se transforman en algún otro vector por la acción de A. A partir de esto, podemos definir dos subespacios de [math] \ mathcal {R} ^ {n} [/ math] asociado con A – el rango de A, y el nulo de A.
El rango de A es el subespacio al que pertenecen todos los vectores de la forma Ax, para todas las x en [math] \ mathcal {R} ^ {n} [/ math]. En general, es posible que Axe no se extienda por todo [math] \ mathcal {R} ^ {n} [/ math].
El nulo de A es el subespacio al que si x pertenece, entonces Ax será el vector cero.
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Permítanme dar un ejemplo para aclarar estos conceptos:
Suponga que A = [math] \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} [/ math] es la matriz en consideración.
Entonces, esto transforma un vector tridimensional en otro vector tridimensional. Toda la geometría se encuentra en el espacio tridimensional, que es fácil de visualizar.
Un vector X = [matemática] \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix} [/ math] en el espacio tridimensional cuando A actúa sobre él da Y = AX = [math] \ begin { bmatrix} x \\ y \\ 0 \ end {bmatrix} [/ math].
A partir de esto, vemos que todos los vectores transformados Y se encuentran en el plano xy. Entonces el rango (A) es el plano 2-D xy. Además, todos los vectores a lo largo del eje z, es decir, con las coordenadas x e y cero, se transformarán en el vector cero. Entonces, nulo (A) es el eje z 1-D.
Finalmente, podemos abordar la pregunta en cuestión. ¿Qué significa el inverso de A? Es otra matriz B que toma el vector transformado Y y lo transforma de nuevo a X (es decir, X = BY) para todos los X e Y.
En el ejemplo anterior, podemos ver que tal B no puede existir, porque infinitamente muchos puntos X en el mapa espacial original al mismo punto Y, por lo que ninguna matriz B puede identificar de cuál de esos puntos infinitos vino el Y.
Formalizando esto, si la dimensión del rango (A) <n, entonces el inverso de A no existe. Además, un resultado estándar del álgebra lineal dice que la dimensión de rango (A) + dimensión de nulo (A) = n. Entonces, la dimensión del rango (A) 0, lo que significa que hay al menos un vector x distinto de cero tal que Ax = 0.