Dentro del contexto de la teoría de grafos, una caminata de longitud k es una lista ordenada de vértices no distintos, [matemáticas] \ {n, u_ {1}, u_ {2}, …, u_ {k-1}, m \ } [/ math], donde el tamaño de la secuencia es la longitud de la caminata. Los gráficos son estructuras matemáticas enumerables y, por lo tanto, vienen equipados con una métrica natural. La relación de adyacencia se puede declarar como: vértices n y m , son adyacentes si y solo si existe una caminata de longitud 1 de n a m . Entonces podemos escribir una matriz de adyacencia única como,
[matemáticas] a_ {nm} = \ begin {cases} 1, & d (n, m) = 1 \\ 0, & d (n, m) \ neq 1 \ end {cases} [/ math]
La relación de adyacencia no única n [math] \ sim [/ math] m, es una relación no declarada entre vértices, es un objeto matemático abstracto, es decir, hasta que declare la relación. Esta es la razón por la cual los Gráficos se encuentran entre (si no las más) estructuras matemáticas flexibles y, por lo tanto, omnipresentes jamás descubiertas.
Podemos escribir la matriz de distancia correspondiente a los vértices como,
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[matemáticas] d_ {nm} = \ begin {cases} k, & d (n, m) = k \\ \ infty, y de lo contrario \ end {cases} [/ math]
Podemos enumerar todos los recorridos de longitud k multiplicando la matriz de adyacencia consigo misma k veces,
[matemáticas] [\ textbf {A} ^ {k}] _ {nm} = \ sum_ {u_ {1} = 1} ^ {N} \ sum_ {u_ {2} = 1} ^ {N} \ dots \ sum_ {u_ {n-1} = 1} ^ {N} \ sum_ {u_ {n-2} = 1} ^ {N} a_ {n, u_ {1}} a_ {u_ {1}, u_ {2 }} \ dots a_ {u_ {n-2}, u_ {n-1}} a_ {u_ {n-1}, m} [/ math]
Pregunta: ¿qué crees que sucede cuando [math] k \ in \ mathbb {R} [/ math]?