Cómo interpretar valores propios y vectores propios de la matriz jacobiana de un sistema dinámico

Answer 1

Los valores propios son la parte importante.

Si las partes reales de todos los valores propios son positivas, el punto fijo es inestable. Se llama una fuente. Comenzando desde un punto inicial cerca del punto fijo, el camino se alejará de él.

Si las partes reales de todos los valores propios son negativas, el punto fijo es estable. Se llama fregadero. Hay una cuenca alrededor del punto fijo, y cualquier condición inicial en esa cuenca dará como resultado una ruta que caiga hacia el punto fijo.

Si las partes reales de los valores propios son de signos diferentes, el punto fijo se llama punto de silla. Es inestable, atrae a lo largo de un eje y repele a lo largo de otro.

Si también hay componentes complejos, la naturaleza del punto fijo no cambia (sigue siendo un punto de hundimiento, fuente o silla de montar), pero con un giro. Si los valores propios son puramente complejos, entonces hay órbitas cerradas alrededor del punto fijo.

Los vectores propios solo dan los ejes a lo largo de los cuales se centran los comportamientos indicados por los valores propios. Entonces, el vector propio asociado con un valor propio negativo es un vector a lo largo del cual se atrae el punto fijo. El vector propio asociado con un vector propio positivo es un eje a lo largo del cual se repele el punto fijo.

Answer 2

Solo para resaltar un pequeño detalle.

La respuesta anterior fue realmente genial. Debe consultar el libro “Sistemas no lineales de Hassan. K. Khalil”. Él habla de estos llamados caminos o múltiples. Por supuesto, hay muchos otros libros realmente geniales.

En todo caso, solo quiero agregar o más bien resaltar una cosa. Nunca deberíamos hablar realmente sobre la estabilidad del sistema dinámico en sí (aunque podemos en algunos casos), sino más bien su estabilidad en un punto dado (equilibrios en general) en el que evaluamos la matriz jacobiana.

La respuesta anterior de Mark es válida para cualquier punto del sistema. Estoy seguro de que trató de especificar esto diciendo punto fijo. Solo estoy aclarando eso. De lo contrario, eso es básicamente lo que nos dicen los valores propios y los vectores propios.