Si tiene [matemática] A ^ 3 = 4A ^ 2 – 5A + 2I [/ matemática], entonces multiplique ambos lados por [matemática] A ^ n [/ matemática] para obtener [matemática] A ^ {n + 3} = 4A ^ {n + 2} – 5A ^ {n + 1} + 2A ^ n [/ math] para cualquier número entero no negativo [math] n [/ math].
Esta es una relación de recurrencia lineal, cuyo polinomio característico es [math] \ lambda ^ 3 = 4 \ lambda ^ 2 – 5 \ lambda + 2 [/ math]. Las raíces de este polinomio característico son [matemáticas] \ lambda = 1, 1, 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la solución a esta relación de recurrencia es [matemáticas] A ^ n = (C_1 + C_2 n) \ cdot 1 ^ n + C_3 \ cdot 2 ^ n [/ matemáticas] para algunas matrices constantes [matemáticas] C_1, C_2, C_3 [/matemáticas].
Para [matemáticas] n = 0, 1, 2 [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] C_1 + C_3 = I [/ matemáticas]
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[matemáticas] C_1 + C_2 + 2C_3 = A [/ matemáticas]
[matemáticas] C_1 + 2C_2 + 4C_3 = A ^ 2 [/ matemáticas]
Resolver este sistema produce:
[matemáticas] C_1 = 2A-A ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] C_2 = -2I + 3A-A ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] C_3 = I-2A + A ^ 2 [/ matemáticas]
Al conectar esto, se obtiene la fórmula:
[matemáticas] A ^ n = [/ matemáticas] [matemáticas] (2 ^ n-2n) I – [/ matemáticas] [matemáticas] (2 ^ {n + 1} -3n-2) A + [/ matemáticas] [ matemáticas] (2 ^ nn-1) A ^ 2 [/ matemáticas].
Este método se puede aplicar fácilmente a otras matrices, suponiendo que conozcamos los valores propios.