¿Cuál es la conexión entre el espectro y los valores propios de un operador?

Answer 1

El espectro de un operador es una generalización del conjunto de valores propios de un operador que extiende la definición más allá de los operadores en espacios vectoriales de dimensiones finitas.

Mientras que un valor propio [math] \ lambda [/ math] de un operador [math] T [/ math] se define de tal manera que para alguna entrada [math] x [/ math], [math] Tx = \ lambda x [/ math ], la condición (estrictamente más débil) para que un elemento esté en el espectro solo requiere que [math] T- \ lambda \ cdot \ text {Id} [/ math] no sea invertible.

Estas dos condiciones son equivalentes en espacios vectoriales de dimensiones finitas, pero no necesariamente equivalentes para espacios de dimensiones infinitas. Por ejemplo, considere el operador de cambio, que no tiene valores propios, pero para el cual [math] 0 [/ math] está en el espectro (el operador de cambio no es invertible).