¿Son todos los núcleos definidos positivos funciones definidas positivas?

Answer 1

Reformularía su descripción ligeramente: un núcleo positivo definido surge de una función definida positiva si dicho núcleo es invariante en la traducción. Entonces lo que dijiste es correcto. Sin embargo, aquí la traducción, etc. se define en espacios euclidianos, que forman un grupo aditivo. Se podría dotar al espacio subyacente de otra estructura de grupo (posiblemente no abeliana), lo que puede dar lugar a más núcleos invariantes de traducción, con lo que queremos decir [matemáticas] K (g_1, g_2) = K (g_1 h, g_2 h) [ /matemáticas].

Sin embargo, un núcleo no invariante de traducción que satisfaga [matemáticas] K (x, x) \ neq K (y, y) [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] x \ neq y [/ matemáticas], nunca puede surgir de un resultado positivo función definida bajo cualquier estructura de grupo del espacio subyacente, ya que bajo cualquier estructura de grupo, tenemos [matemática] xx ^ {- 1} = aa ^ {- 1} [/ matemática]. Entonces hay muchos ejemplos.

Answer 2

Comencemos con la definición de una función del núcleo, que es una función [matemática] k [/ matemática] que [matemática] \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {z} \ en X [/ matemática] que satisface
[matemáticas] k (\ mathbf {x}, \ mathbf {z}) = \ phi (\ mathbf {x}) \ cdot \ phi (\ mathbf {z}) [/ math].

Aquí [math] \ phi [/ math] es una asignación de [math] X [/ math] a un espacio de características medible [math] F [/ math] y [math] \ cdot [/ math] es el producto interno en F.

Ahora un núcleo positivo definido [matemática] \ phi: X \ times X \ to \ mathbb {C} [/ math] se llama positivo semi-definido si es hermitiano y

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} c_ic_j ^ {*} \ phi (x_i, x_j) \ geq 0 [/ matemáticas]

[math] \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ {x_i, \ dots, x_n \} \ subseteq X [/ math] y [math] \ {c_i, \ dots, c_n \} \ in \ mathbb { C} [/ matemáticas]. Aquí [math] ^ {*} [/ math] denota el conjugado complejo.

Por supuesto, para cualquier [math] \ {x_i, \ dots, x_n \} [/ math] distinto, la igualdad anterior implica [math] c_i = \ dots = c_n = 0 [/ math], luego el kernel [math] \ phi [/ math] es estrictamente positivo-definido.
Espero que esto ayude a aclarar un poco.