¿Una matriz similar de una matriz ermitaña es también una ermitaña?

Answer 1

No, a menos que la transformación similar sea una transformación unitaria.

Matriz similar definida por [matemática] B = M ^ {- 1} AM [/ matemática], donde [matemática] M [/ matemática] es una matriz invertible.

Usted preguntó si [matemática] A ^ H = A [/ matemática], si [matemática] B ^ H = B [/ matemática].
[matemáticas] B ^ H = (M ^ {- 1} AM) ^ H = M ^ HA ^ H (M ^ {- 1}) ^ H = M ^ HA (M ^ H) ^ {- 1} [/ matemáticas]. Si [matemática] B ^ H = B [/ matemática], [matemática] M ^ HA (M ^ H) ^ {- 1} = M ^ {- 1} AM [/ matemática], entonces [matemática] MM ^ HA = AMM ^ H [/ math], es decir [math] MM ^ H [/ math] debe ser conmutativo con [math] A [/ math] que generalmente no es cierto. Una posibilidad es [matemática] MM ^ H = I [/ matemática], es decir [matemática] M [/ matemática] es una transformación unitaria, entonces [matemática] B ^ H = B [/ matemática].

Answer 2

No. Aquí hay un contraejemplo simple: cada matriz diagonalizable es similar a una matriz diagonal, que siempre es hermitiana. Pero no todas las matrices diagonalizables son hermitianas.

Hay otra forma de verlo que profundiza más en esto. La versión dimensional finita del teorema espectral nos permite escribir cada Matriz Hermitiana [matemáticas] H [/ matemáticas] como [matemáticas] H = U \ Lambda U ^ H [/ matemáticas]. Esto significa que cada matriz Hermitiana es diagonal una vez que rotamos la base estándar usando una matriz unitaria [matemática] U [/ matemática].

En contraste, considere cualquier otra matriz diagonalizable [matemática] M [/ matemática] con el mismo conjunto de valores propios [matemática] \ Lambda [/ matemática]. Entonces [math] M [/ math] puede escribirse [math] V \ Lambda V ^ {- 1} [/ math] donde en general podemos suponer que [math] V [/ math] ha normalizado pero no necesariamente las columnas ortogonales. En otras palabras, [math] M [/ math] es también el mismo operador diagonal [math] \ Lambda [/ math] una vez que cambiamos la base estándar a la base [math] V [/ math].

Ahora, [matemática] M [/ matemática] es similar a [matemática] H [/ matemática] pero no Hermitiana a menos que [matemática] V [/ matemática] sea unitaria. ¿Qué nos dice esto? Si cambiamos a una base no ortogonal, la matriz que representa la misma transformación ya no es Hermitiana.