¿Cuál es la diferencia entre un campo vectorial y un espacio vectorial?

Answer 1

Supongamos que tenemos un múltiple X. (Si no sabe qué es esto, los ejemplos de múltiples incluirían curvas suaves, superficies lisas y los análogos obvios de las dimensiones superiores).

Un paquete de vectores E de rango n en X es una elección de un espacio vectorial n- dimensional [matemática] E_x [/ matemática] en cada punto de x, junto con alguna estructura geométrica que satisface algunas condiciones. (Estas condiciones básicamente dictan que [math] E_x [/ math] se relaciona de alguna manera con los espacios vectoriales [math] E_x [/ math] en puntos cercanos.) Por lo tanto, un paquete de vectores es un conjunto completo de espacios de vectores que están “agrupados juntos “a través de la estructura geométrica añadida. Un campo vectorial es una opción de un vector en [matemática] E_x [/ matemática] para cada [matemática] x \ en X [/ matemática].

Entonces, por ejemplo, tenemos el paquete tangente , que es un paquete vectorial que asocia a cada punto el espacio tangente a cada punto. Un campo tangente es una elección “continua” (o “uniforme”, o algo similar, según el contexto exacto) del vector tangente a X en cada punto de X.

Answer 2

Podría ser muy formal, pero no creo que eso sea particularmente útil. Permítanme probar algunas explicaciones de dos oraciones y ver si alguna de ellas se “queda” para usted.

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Un espacio vectorial es un conjunto de posibles vectores.

Un campo vectorial es, en términos generales, un mapa de un conjunto en un espacio vectorial.

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Un espacio vectorial es algo así como el espacio real: un montón de puntos.

Un campo vectorial es una asociación de un vector con cada punto en el espacio real.

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Un espacio vectorial que dibujas como un sistema de coordenadas.

Un campo vectorial que dibujas como un grupo de vectores en todo tu plano / espacio / etc.

Answer 3

Imagine que está montando una montaña rusa (representada por una franja plana) y se le permite mover la cabeza en cualquier dirección (360 grados 🙂 Las direcciones en las que puede mirar y la distancia a la que enfoca sus ojos representan un paquete vectorial – en cada punto, hay un espacio vectorial de posibles configuraciones, y estas configuraciones se deslizan a lo largo de la montaña rusa.
Esto ilustra un paquete tangente mencionado por Daniel McLaury, y la estructura geométrica que menciona simplemente garantiza un viaje suave: su mirada no debe temblar demasiado si mantiene la cabeza firme. Está bien girar gradualmente la cabeza, lo que dará como resultado un campo vectorial: en cada punto de la montaña rusa, estaría mirando a algún lado (representado por un vector tangente).

Ahora imagine una montaña rusa en una esfera o un toro. Si la criatura que monta la montaña rusa tiene dos cabezas (cada una con un par de ojos), eso daría un paquete de vectores más complicado y campos de vectores de dimensiones superiores.

Answer 4

El espacio vectorial y los campos son prácticamente lo mismo, excepto una excepción particular: la multiplicación. Para explicar la diferencia principal, citaré una excelente respuesta de Travis en el foro de intercambio de matemáticas:

Es cierto que los espacios y campos vectoriales tienen operaciones que a menudo llamamos multiplicación, pero estas operaciones son fundamentalmente diferentes y, como usted dice, a veces llamamos a la operación de multiplicación escalar de espacios vectoriales para enfatizar.

Las operaciones en un campo [math] \ mathbb {F} [/ math] son:

• [math] +: \ mathbb {F} \ times \ mathbb {F} \ to \ mathbb {F} [/ math]
• [math] \ times: \ mathbb {F} \ times \ mathbb {F} \ to \ mathbb {F} [/ math]

Las operaciones en un espacio vectorial [math] \ mathbb {V} [/ math] sobre un campo [math] \ mathbb {F} [/ math] son

• [math] +: \ mathbb {V} \ times \ mathbb {V} \ to \ mathbb {V} [/ math]
• [math] \ cdot: \ mathbb {F} \ times \ mathbb {V} \ to \ mathbb {V} [/ math]

Uno de los axiomas de campo dice que cualquier elemento distinto de cero [math] f \ in \ mathbb {F} [/ math] tiene un inverso multiplicativo, es decir, un elemento [math] f ^ {- 1} \ in \ mathbb {F} [ / math] tal que [math] f × f ^ {- 1} = 1 = f ^ {- 1} × f [/ math]. No existe una propiedad correspondiente entre los axiomas del espacio vectorial.

Es un ejemplo importante, y posiblemente la fuente de la confusión entre estos objetos, que cualquier campo [math] \ mathbb {F} [/ math] es un espacio vectorial sobre sí mismo, y en estos casos especiales las operaciones [math] \ cdot [/ math] y [math] \ times [/ math] coinciden.

Por otro lado, para cualquier campo [math] \ mathbb {F} [/ math], el producto cartesiano: [math] \ mathbb {F} ^ n: = \ mathbb {F} \ times \ cdots \ times \ mathbb {F} [/ math] tiene una estructura de espacio vectorial natural sobre [math] \ mathbb {F} [/ math], pero para [math] n> 1 [/ math] en general no tiene una regla de multiplicación natural satisfactoria los axiomas de campo, y por lo tanto no tiene una estructura de campo natural.

Answer 5

Un campo vectorial es una función entre dos espacios vectoriales [matemática] V, W [/ matemática] que envía cada vector en un espacio a un vector en el otro espacio, es decir, [matemática] F: V \ a W. [/ Matemática] Un espacio vectorial es un conjunto que satisface los axiomas del espacio vectorial. En términos generales, en un espacio vectorial, podemos agregar dos elementos (vectores) juntos para obtener otro vector, y podemos escalar cada vector por un número (un escalar) para obtener otro vector.

Answer 6

Un espacio vectorial es un espacio de vectores, es decir. Cada elemento es un vector.

Un campo vectorial es, en su núcleo, una función entre un espacio y un espacio vectorial, por lo que cada punto en nuestro espacio base tiene un vector asignado. Un buen ejemplo serían los mapas de dirección del viento que ve en los informes meteorológicos.

Answer 7

Un campo vectorial de un espacio topológico X es una sección del haz tangente de X. El haz tangente de X es un ejemplo de un haz vectorial. Un paquete de vectores es un mapa Y-> X de espacios topológicos, cuyas fibras son espacios vectoriales (y se requiere para satisfacer algunas condiciones de compatibilidad).

Answer 8

En mi opinión, ambos son casi iguales. Sin embargo, debe haber algunas diferencias, ya que cualquiera de los dos elementos puede multiplicarse en un campo, pero no está permitido en el espacio vectorial, ya que solo se permite la multiplicación escalar donde los escalares son del campo.
¿Alguien podría darme al menos un contraejemplo donde el campo y el espacio vectorial sean los mismos? Cada campo es un espacio vectorial, pero no todos los espacios vectoriales son un campo. Necesito un ejemplo para el que un espacio vectorial también sea un campo.