¿Qué piensan los matemáticos del ‘Álgebra lineal bien hecha’ de Axler? ¿Axler “va demasiado lejos” al criticar el uso pedagógico de los determinantes, o es su organización mejor que el enfoque estándar?

Answer 1

Por lo que vale, mi perspectiva es alguien cuyo segundo curso de pregrado en álgebra lineal se enseñó en el libro de Axler. Estoy de acuerdo en que el enfoque utilizado en Álgebra lineal hecho bien proporciona más información. Aprendí mucho más sobre el álgebra lineal y cómo se relaciona con otros temas después de leer ese libro.

Sin embargo, estoy bastante de acuerdo con la respuesta de Quora User, que esto tiene más que ver con la calidad de las explicaciones en el libro y el objetivo del autor de expresar claramente las ideas subyacentes a los lectores. Sin embargo, en mi opinión, no depender de los determinantes como herramienta para probar cada pequeña cosa es un efecto secundario de ese objetivo.

Es importante saber qué es un determinante, pero estoy de acuerdo en que la forma en que se introducen y usan comúnmente hace que su propósito y función sean muy poco claros. El libro de Axler se toma su tiempo para explicar cómo las definiciones fundamentales de álgebra lineal se relacionan con la geometría de los espacios que representan. Cuando introduce los determinantes al final del libro, el lector está en una buena posición para comprender qué representa el determinante y por qué lo hace. No creo que sea tan fácil comunicar toda esa intuición geométrica definiendo el determinante y usándolo como un bloque de construcción para desarrollar la teoría. Sin embargo, probablemente sea difícil para muchos autores evitar la tentación de usarlos, ya que pueden conducir a pruebas más cortas (aunque en mi opinión, más opacas).

El libro de Axler no cubre todo lo que necesita saber sobre álgebra lineal, pero cubre los fundamentos tan bien que coloca al lector en una excelente posición para retomar otros temas muy rápidamente. Las pruebas de Axler no son solo detalles técnicos incluidos en aras de la exhaustividad, sino una parte clave de su comunicación de las ideas en el núcleo del tema. Es difícil para mí imaginar que se haga de manera tan efectiva y al mismo tiempo dependa en gran medida de los determinantes.

Answer 2

Necesitas conocer ambos enfoques.
El enfoque de Axler es bastante esclarecedor para matemáticos, físicos y otros estudiantes que van a utilizar el formalismo algebraico abstracto del álgebra lineal (es decir, en análisis funcional, geometría diferencial, mecánica cuántica, etc.), y no simplemente trabajar con matrices explícitas El enfoque basado en determinantes es de muy poca ayuda en estas áreas, ya que los teoremas hacen referencia a maquinaria abstracta y rara vez es un determinante explícito, incluso posible.
El enfoque basado en determinantes, sin embargo, también es igualmente necesario para comprender rápidamente varias ideas en cálculo vectorial y ciencias aplicadas, incluidas las estadísticas. El enfoque abstracto es de ayuda limitada aquí, ya que los teoremas frecuentemente involucran determinantes explícitos.
Ninguno de los dos enfoques es intrínsecamente “el mejor enfoque”.

Answer 3

Siento que es bueno ver el enfoque de Axler al menos una vez, pero no me gusta ignorar los determinantes por completo. Definitivamente disfruté trabajando en el libro de Axler, pero para realmente sentirme cómodo con el álgebra lineal tuve que leer varios libros y notas, la mayoría de los cuales usaban determinantes.

Answer 4

Sergei Treil de Brown aparentemente no estuvo de acuerdo con el enfoque de Axler lo suficiente como para inspirarse a escribir un libro llamado Álgebra lineal hecho mal.

Answer 5

¿Puedo responder como químico? El orden de presentación coincide mejor con las necesidades de los estudiantes de física química (representaciones de grupos) y química analítica (autovaloración / descomposición del vector propio) que el orden tradicional. Al final, un buen químico necesita todo el tema, pero el énfasis inicial en los retrasos polinómicos característicos y ofusca ligeramente el tratamiento de “lo bueno”. Básicamente, lo que debe completarse para los estudiantes que hicieron la mitad del libro en un un curso de un semestre es más manejable con los pedidos de Axler.

Answer 6

Encontré que este libro es extremadamente valioso como estudiante universitario. No puedo recomendarlo lo suficiente como introducción al tema.

Dicho esto, es solo una introducción. Necesitará más si va más allá de un primer curso de álgebra lineal. Tampoco estoy necesariamente de acuerdo con el punto de vista de Axler de evitar siempre los determinantes. De hecho, su evitación de determinantes ni siquiera es por qué me gusta tanto su libro. Su libro es genial porque está escrito de manera muy clara y cuidadosa. En lo que a mí respecta, es mera coincidencia que apenas use determinantes.

Answer 7

No puedo decir mucho ya que solo era matemática en pregrado y ahora estoy haciendo informática. Pero de las dos opciones de libro de álgebra lineal, el libro axler fue favorecido entre los estudiantes. Tenía sentido retrasar los determinantes para mí personalmente porque ni siquiera estaba familiarizado con signos y permutaciones en ese momento. Creo que estaría confundido

Answer 8

Es más fácil definir el polinomio característico como determinante.