Para mostrar que las dos declaraciones son equivalentes, debemos mostrar un iff. es decir, una implicación en ambas direcciones. Haré eso a continuación:
Teorema: una matriz simétrica A se llama positiva definida si [matemática] x ^ TA x> 0 [/ matemática] para todos [matemática] x \ neq 0 [/ matemática] si y solo si todos los valores propios de A son positivos.
Prueba:
1) Primera dirección: demuestre que si [matemática] x ^ TA x> 0 [/ matemática] para todos los vectores [matemática] x \ neq 0 [/ matemática] entonces [matemática] \ lambda_i> 0, \ forall i [/ matemática ]
Si [math] x ^ TA x> 0 [/ math] se cumple para todos los vectores, en particular se cumple para los vectores propios . Por lo tanto, si conectamos un vector propio obtenemos:
[matemáticas] x ^ TA x = x ^ T (\ lambda x) = \ lambda x ^ T x = [/ matemáticas] [matemáticas] \ lambda \ | x \ | ^ 2> 0 [/ matemáticas]
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Como asumimos que la forma cuadrática es positiva, dado que los nroms al cuadrado son obviamente positivos, entonces es necesario que el valor propio actual también sea positivo. Por lo tanto, [math] \ lambda> 0 [/ math].
2) Segunda dirección: demuestre que si [math] \ lambda_i> 0, \ forall i [/ math] entonces [math] x ^ TA x> 0 [/ math] para todos [math] x \ neq 0 [/ math] .
Tenga en cuenta que si tenemos algún vector [math] x \ neq 0 [/ math] siempre podemos normalizarlo para obtener [math] \ hat {x} = \ frac {x} {\ | x \ |} [/ math] tal que [math] \ | \ hat {x} \ | ^ 2 = 1 [/ math].
Del teorema de Min-max se deduce que para una matriz A simétrica [matemática] n \ veces n [/ matemática] y un vector normalizado x, que:
[matemáticas] \ lambda_ {max} \ geq x ^ TA x \ geq \ lambda_ {min} [/ matemáticas]
es decir, la forma cuadrática está limitada por sus valores propios más grandes y más pequeños wrt a vectores normalizados x que satisfacen [matemáticas] \ | x \ | ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. La prueba de esto se puede encontrar en
¿Por qué [math] x ^ TA x [/ math] está limitado por los valores propios más pequeños y más grandes para cualquier vector unitario [math] x [/ math], es decir, [math] \ lambda_ {max} \ geq x ^ TA x \ geq \ lambda_ {min} [/ math]?
Como suponemos que todos los valores propios son positivos, se deduce que el límite inferior de la forma cuadrática también debe ser positivo (ya que [math] \ lambda_ {min}> 0 [/ math]). es decir
[matemáticas] \ hat {x} ^ TA \ hat {x} \ geq \ lambda_ {min}> 0 [/ matemáticas]
Hasta ahora encontramos que la forma cuadrática es positiva si se multiplica por cualquier vector normalizado [math] \ hat {x} [/ math]. Sin embargo, queríamos demostrar que es válido para cualquier vector, no solo para vectores normalizados. Para esto, simplemente expanda lo que significa un vector normalizado en la desigualdad anterior para obtener:
[matemáticas] \ frac {x ^ T} {\ | x \ |} A \ frac {x} {\ | x \ |} = \ frac {1} {\ | x \ | ^ 2} x ^ TA x \ geq \ lambda_ {min}> 0 [/ math]
Multiplicando por [matemáticas] \ | x \ | ^ 2 [/ math] produce el resultado deseado:
[matemáticas] x ^ TA x \ geq \ | x \ | ^ 2 \ lambda_ {min}> 0 [/ matemáticas]
QED