Álgebra lineal: ¿Es cierto que si un espacio vectorial equipado con una forma bilineal simétrica tiene [matemática] \ dim W ^ {\ perp}> \ dim V – \ dim W [/ matemática] para cada subespacio diferente de 0 entonces [matemática ] \ phi = 0 [/ math]?

Answer 1

Creo que lo resolví. Me doy cuenta de que es bastante tonto responder tu propia pregunta, pero lo que sea; puede funcionar incluso para verificar si mi razonamiento es correcto. Ahora, llamemos a [math] n [/ math] la dimensión de [math] V [/ math]. Deje que [math] B = {v_ {1}, …, v_ {n}} [/ math] sea una base de [math] V [/ math].
Si [math] B [/ math] es una base, entonces cada vector [math] v \ neq0 [/ math] (el caso [math] v = 0 [/ math] es trivial) puede escribirse como una combinación lineal de Los elementos de la base.

[matemáticas] v = {a_ {1} v_ {1} +… + a_ {n} v_ {n}} [/ matemáticas]

Ahora deje que [math] W = span (v) [/ math]. Este subespacio tiene obviamente una dimensión 1. Nuestra hipótesis dice que [matemática] \ dim W ^ {\ perp}> \ dim V – \ dim W [/ math] entonces [math] \ dim W ^ {\ perp} = n [/ matemáticas]. Pero entonces [matemáticas] W ^ {\ perp} = V [/ matemáticas]. Entonces la afirmación es cierta.