¿Por qué la matriz de Gram debe ser positiva definida en álgebra lineal?

Answer 1

La matriz de Gramian de la matriz [matemática] X [/ matemática] es la matriz simétrica [matemática] G = X ^ {T} X [/ matemática]. En Euclidean Space, podemos normalizar cada vector [math] x_ {j} [/ math], de modo que [math] || x_ {ii} || _ {2} = 1 [/ math], lo que nos permitirá reexpresar cada elemento de [matemáticas] G [/ matemáticas] como la puntuación de similitud de coseno entre [matemáticas] x_ {i} [/ matemáticas] y [matemáticas] x_ {j} [/ matemáticas]. Esto crea un Grammian de entradas delimitadas entre [-1, 1], con 1 a lo largo de la diagonal principal (la traza es igual a la dimensión [math] m [/ math] de la matriz). De ello se deduce que [matemática] det (G) \ ge 0 [/ matemática], con [matemática] det (G) = 0 [/ matemática] que ocurre solo cuando la similitud del coseno es igual a [matemática] | 1 | [/ matemática ] para algunos [matemática] i, j, i \ ne j [/ matemática]

Answer 2

[matemáticas] y ^ TGy = y ^ TX ^ TXy = || Xy || _2 \ ge 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, se verifica que las matrices de gramo son semi-definidas positivas por definición de este último.