Álgebra lineal: ¿Cuál es una explicación intuitiva para la descomposición LU de una matriz?

Answer 1

• Al realizar la transformación de A a U, uno pasa por columnas secuencialmente. Para cada columna, uno usa múltiplos de la fila de pivote para poner a cero los elementos debajo del pivote. En caso de que el pivote sea cero, se realiza un intercambio de filas. Por lo tanto, uno usa dos tipos de transformaciones elementales: Transformaciones de adición de fila y Transformaciones de cambio de fila.
• Ignoremos los intercambios de filas con el propósito de esta respuesta. Surgen como casos extremos con pivotes cero y la transformación correspondiente es [matemática] PA = LU [/ matemática] donde P es una matriz de permutación. Si no hay intercambios de filas, P es la matriz de identidad y obtenemos el caso simple de [math] A = LU [/ math]. Por lo tanto, el único tipo de transformaciones de fila elementales que debemos considerar son las Transformaciones de adición de fila. Este supuesto simplificador hace que todo el proceso de transformación de A a U incurra en un número fijo de adiciones de filas sin tener que preocuparse por los intercambios de filas condicionales.
• Repetidamente realiza transformaciones de suma de filas en las que utiliza múltiplos del pivote actual para poner a cero los elementos de la matriz debajo del pivote. Cada transformación de suma de filas que realizamos en A para transformarla en U corresponde a la multiplicación previa en A por una matriz elemental de adición de filas que se parece a
  
• Cuando la matriz T anterior multiplica previamente A, sus filas sirven como coeficientes para las combinaciones lineales de filas de A (una forma increíblemente útil de ver la multiplicación de matrices). Por lo tanto, la primera fila de T recoge la primera fila de A y así sucesivamente, excepto la fila con el escalar m en la posición [math] i, j_ {th} [/ math]. Esta fila realiza la siguiente operación: [matemática] A [i ,:] \ leftarrow mA [j ,:] + A [i,:] [/ matemática] donde se elige m para poner a cero [matemática] A_ {i, j }[/matemáticas].
• Por lo tanto, la transformación de A a U se puede representar como [matemáticas] E_ {n-1, n} E_ {n-2, n} E_ {n-2, n-1} … E_ {1,3} E_ { 1,2} A = U [/ math] donde la multiplicación previa por [math] E_ {i, j} [/ math] corresponde a la transformación de adición de fila que utiliza el pivote [math] i_ {th} [/ math] es decir, [math] i, i_ {th} [/ math] elemento para poner a cero el elemento [math] j, i_ {th} [/ math] de la matriz (donde [math] j> i [/ math]).
• Como no encuentra ningún pivote cero, las matrices elementales con las que se multiplica previamente son todas matrices triangulares inferiores. (Si hay cero pivotes, realiza un intercambio de filas. La matriz de permutación elemental correspondiente no es triangular inferior). Las matrices elementales de suma de filas son invertibles y también tienen inversas triangulares inferiores. Ver la matriz elemental de adición de filas. Por lo tanto, [matemáticas] E_ {n-1, n} E_ {n-2, n} E_ {n-2, n-1} … E_ {1,3} E_ {1,2} A = U [/ matemáticas ] implica [matemáticas] A = E_ {1,2} ^ {- 1} E_ {1,3} ^ {- 1}… E_ {n-2, n-1} ^ {- 1} E_ {n-2 , n} ^ {- 1} E_ {n-1, n} ^ {- 1} U [/ matemáticas]. Dado que todas las inversas en el RHS son triangulares inferiores, su producto también es triangular inferior y se denota como L. Por lo tanto, [matemáticas] A = LU [/ matemáticas].
• Una forma más limpia de nivel superior de ver las transformaciones anteriores es agrupar las transformaciones por pivote. Por lo tanto, [matemáticas] E_ {i, n} … E_ {i, i + 2} E_ {i, i + 1} = F_ {i} [/ matemáticas] donde [matemáticas] F_ {i} [/ matemáticas] es la matriz de Frobenius (también conocida como matriz atómica triangular) que es triangular inferior. De acuerdo con la pulcritud del álgebra lineal, la inversa de una matriz de Frobenius es también una matriz de Frobenius. Más importante aún, lo inverso se conoce fácilmente, ya que corresponde a solo invertir / negar las transformaciones de fila originales codificadas en la matriz de Frobenius.
• L es el producto de inversas de las matrices de Frobenius correspondientes a las transformaciones de fila por pivote, y por lo tanto también es triangular inferior. Dado que las matrices inversas de Frobenius ya se conocen de los multiplicadores originales, los multiplicadores van a L ya que las matrices inversas de Frobenius se multiplican para obtener L.
• Una forma de nivel superior (aunque ofuscado) para ver las transformaciones es multiplicar todas las matrices de suma de filas elementales en E. Por lo tanto, [math] EA = U [/ math]. Como todas las matrices de suma de filas elementales son triangulares inferiores, E es triangular inferior y su inverso es también triangular inferior. Por lo tanto, [math] EA = U \ rightarrow A = E ^ {- 1} U \ rightarrow A = LU [/ math].

Answer 2