¿Cómo simplifico [matemáticas] \ frac {9x ^ 2 – x ^ 4} {x ^ 2 – 6x + 9} [/ matemáticas]?

Comience con la factorización tanto como pueda para reducir la expresión eliminando factores donde sea que se puedan cancelar.

[matemáticas] \ frac {9x ^ 2-x ^ 4} {x ^ 2-6x + 9} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 (3 + x) (3-x)} {(x-3) (x-3)} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(- 1) x ^ 2 (3 + x) (x-3)} {(x-3) (x-3)} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {(- 1) x ^ 2 (3 + x)} {(x-3)} = [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ 2 (3 + x)} {(3-x)} [/ matemáticas] ← respuesta

puede dejarlo así, factorizado, o puede volver a combinarlo, ya que sabemos que la fracción está en la forma más simple … si la recombinamos será …

[matemáticas] \ frac {x ^ 3 + 3x ^ 2} {3-x} [/ matemáticas] ← también la respuesta

Esta es solo una de muchas otras formas diferentes pero equivalentes. * *

Tenemos: [matemáticas] \ dfrac {9x ^ {2} -x ^ {4}} {x ^ {2} -6x + 9} [/ matemáticas]

Reescribamos el numerador para expresarlo como una diferencia de dos cuadrados:

[matemáticas] = \ dfrac {(3x) ^ {2} – (x ^ {2}) ^ {2}} {x ^ {2} -6x + 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(3x + x ^ {2}) (3x-x ^ {2})} {x ^ {2} -6x + 9} [/ matemáticas]

Luego, factoricemos el denominador usando el corte de mediano plazo:

[matemáticas] = \ dfrac {(3x + x ^ {2}) (3x-x ^ {2})} {x ^ {2} -3x-3x + 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(3x + x ^ {2}) (3x-x ^ {2})} {x \ hspace {1 mm} (x-3) -3 \ hspace {1 mm} (x- 3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(3x + x ^ {2}) (3x-x ^ {2})} {(x-3) (x-3)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {(3x + x ^ {2}) (3x-x ^ {2})} {(x-3) ^ {2}} [/ matemáticas]

Ahora, factoricemos el numerador:

[matemáticas] = \ dfrac {\ big (x \ hspace {1 mm} (3 + x) \ big) \ big (x \ hspace {1 mm} (3-x) \ big)} {(x-3) ^ {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {x ^ {2} (3 + x) (3-x)} {(x-3) ^ {2}} [/ matemáticas]

Para simplificar aún más la expresión, necesitamos un factor en común entre el numerador y el denominador.

Esto se puede hacer de la siguiente manera:

[matemáticas] = \ dfrac {x ^ {2} (x + 3) \ cdot {(- 1)} (x-3)} {(x-3) ^ {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – x ^ {2} \ cdot \ dfrac {(x + 3)} {(x-3)} [/ matemáticas]

Para simplificar la expresión racional dada, factorizaremos tanto el numerador como el denominador tanto como sea posible y luego cancelaremos los factores similares de la siguiente manera:

Podemos factorizar una “x²” del numerador de la siguiente manera:

(1.) (9x² – x ^ 4) / (x² – 6x + 9) = [x² (9 – x²)] / (x² – 6x + 9)

En el numerador, tenemos la diferencia de dos cuadrados, 9 – x², que se pueden factorizar de la siguiente manera: 9 – x² = (3 + x) (3 – x). Sustituyendo esta forma factorizada en el numerador, tenemos:

(2.) = [x² (3 – x) (3 + x)] / (x² – 6x + 9)

En el denominador, tenemos un trinomio cuadrado perfecto, x² – 6x + 9, que se puede factorizar de la siguiente manera: x² – 6x + 9 = (x – 3) (x – 3). Sustituyendo esta forma factorizada en el denominador, tenemos:

(3.) = [x² (3 – x) (3 + x)] / [(x – 3) (x – 3)]

En el numerador, podemos factorizar –1 a partir de (3 – x) de la siguiente manera:

(4.) = [x² (–1) (- 3 + x) (3 + x)] / [(x – 3) (x – 3)]

Como la suma es conmutativa, es decir, a + b = b + a, entonces en el numerador, tenemos:

(5.) = [x² (–1) (x – 3) (x + 3)] / [(x – 3) (x – 3)]

El factor similar, (x – 3), tanto en el numerador como en el denominador, se cancela entre sí, de modo que ahora tenemos:

(6.) = [x² (–1) (1) (x + 3)] / (1) (x – 3)

La forma simplificada final para la expresión racional original se puede escribir como:

(7.) = – [x² (x + 3)] / (x – 3)

NOTA : En el numerador, el factor (x + 3) podría haberse dejado solo como (3 + x). Lo escribí como (x + 3) en aras de la coherencia con el denominador, es decir, con el término x primero y con el término constante último.

[matemáticas] \ frac {9x ^ 2-x ^ 4} {x ^ 2-6x + 9} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {x ^ 2 (9-x ^ 2)} {(x-3) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {x ^ 2 (3 + x) (3-x)} {(x-3) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {-x ^ 2 (x + 3) (x-3)} {(x-3) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ frac {x ^ 2 (x + 3)} {x-3} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {x ^ 2 (x + 3)} {3-x} [/ matemáticas]

Factoriza x ^ 2 desde el numerador, Numerador se convierte en x ^ 2 (9-x ^ 2). Factoriza (9-x ^ 2), y el numerador se convierte en x ^ 2 (3 + x) (3-x). El denominador del factor, y el denominador se convierte en (x-3) (x-3). Factoriza -1 fuera del numerador para obtener -x ^ 2 (-3-x) (- 3 + x). Reescribe el tercer factor en el numerador como (x-3). Cancelar (x-3) desde el numerador y el denominador. Hojas -x ^ 2 (-3-x) sobre (x-3).

Lo siento, no puedo escribir esto más claramente, pero todas las cosas en la parte superior del área de edición / respuesta que me permitirían hacer eso (me dicen) se cortan en mi borde 6s más independientemente de si se mantiene vertical u horizontal .

Tome x ^ 2 común del numerador
Y como se puede ver claramente, el denominador es un cuadrado perfecto de (x-3).
También (x-3) se puede obtener del numerador fácilmente. Por lo tanto, su problema está resuelto

(9x ^ 2 – x ^ 4) / (x ^ 2 – 6x + 9)
= (x ^ 2 (9 – x ^ 2)) / ((x – 3) ^ 2)
= (x ^ 2 (3 – x) (3 + x)) / ((x – 3) (x – 3))
= (x ^ 2 (-1) (x – 3) (3 + x)) / ((-1) (3 – x) (x – 3))

Al cancelar (-1) y (x – 3) tanto del nominador como del denominador, obtendrá:
= x ^ 2 (3 + x) / (3 – x)

Reorganizar para que se vea ordenado:
= – (x ^ 2 (x + 3)) / (x – 3)

Espero que esto ayude. Factorizar, identificar términos comunes, cancelarlos.

Referencia: años atrás de aprender matemáticas. Jaja

Tengo una instantánea de mi solución a la pregunta mencionada anteriormente.

Descripción : El numerador y el denominador se factorizan por separado. Luego, eliminamos los múltiplos comunes. Por lo tanto, la fracción restante que no se puede simplificar se convierte en nuestra solución.

Nota: Lo siento, simplemente simplifiqué (3-x) con (x-3). Olvidé poner un signo “-” en la respuesta final.

Gracias Nour Hlwani por el comentario.

TL; DR usa algo de factorización inteligente y luego usa la división polinómica una vez que hayas encontrado su primer factor.

¡Espero que esto ayude! El método que se muestra arriba se puede usar para cualquier polinomio que intente simplificar. Las matemáticas pueden ser fáciles si intentas simplificar un poco tus problemas hasta que estén en una forma que reconozcas.

Factoriza el numerador y el denominador, eso lo hará más fácil.

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