Álgebra: ¿Por qué las cuadráticas generalmente tienen dos respuestas y cómo sabes cuál es la correcta?

Answer 1

Las cuadráticas generalmente tienen dos respuestas porque pueden reducirse a una raíz cuadrada, en un sentido adecuado, y generalmente hay dos raíces cuadradas de cualquier valor dado (ya que [math] x ^ 2 = y [/ math] es equivalente a [math ] (x – \ sqrt {y}) (x + \ sqrt {y}) = 0 [/ math], y hay dos opciones de qué factor a la izquierda hace cero).

¿Cuál es la respuesta correcta? Eso es completamente dependiente del contexto. Quizás solo le interesan las respuestas positivas, y solo una es positiva. Quizás ambas raíces son correctas para sus propósitos, y cualquier cosa menos que notar la existencia de ambas es problemático. Quizás algo más. No hay conocimiento, sin el contexto.

Sin embargo, si su objetivo final es simplemente complacer al maestro, siempre existe la posibilidad de que su maestro sea obstinadamente ignorante en algún momento u otro. Por desgracia, no puedo ayudarte con eso.

Answer 2

Cuando se refiere a dos respuestas, se refiere al hecho de que una función cuadrática generalmente intercepta el eje x en dos puntos. Aquí está el gráfico de una función cuadrática.

La gráfica de una función cuadrática produce la forma parabólica que ves arriba. Esta función cuadrática intercepta el eje x en -2 y 3. Por lo tanto, la ecuación para esta cuadrática sería (x + 2) (x-3) = 0, y usar el método FOIL es lo mismo que x ^ 2- x-6 = 0. Cuando te refieres a estas dos respuestas, te refieres al hecho de que una ecuación cuadrática puede interceptar el eje x en dos puntos. Cuando factoriza una ecuación cuadrática, el objetivo es encontrar estas dos intersecciones. Es por eso que tiene dos respuestas, porque cuando está factorizando un cuadrático, está buscando las dos raíces, o dos puntos donde el cuadrático intercepta el eje x. Por lo tanto, ambas respuestas son correctas, porque esos puntos son los dos puntos en los que el cuadrático intercepta el eje x.

Answer 3

Cada ecuación cuadrática se puede escribir como:
[matemáticas] (p xq) (r xs) = 0 [/ matemáticas]
Si cualquiera de las expresiones en la fórmula es igual a cero, la ecuación se cumple.
[matemáticas] x = q / p [/ matemáticas] o [matemáticas] x = s / r [/ matemáticas].

¿Y por qué podemos escribir la ecuación cuadrática como [matemáticas] (p xq) (r xs) = 0 [/ matemáticas]? [matemáticas] pr x ^ 2 – (ps + rq) x + qs = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2- (s / r + q / p) x + qs / pr = 0 [/ matemáticas]

Como puede ver, conocer uno de coeficiente de término lineal o constante no define el otro. Como prueba, puede encontrar un ejemplo, donde para un coeficiente de término constante hay más de un lineal y también al revés.

Answer 4

No voy a entrar en una explicación detallada. Tomemos una ecuación muy simple como x ^ 2 = 4. Ahora bien, podemos dar la respuesta para x como 2. Pero un poco de excavación revelará que también puede ser -2.
Esto se debe a que cada número real mayor que cero tiene 2 raíces cuadradas. (Función multivalor).
Ahora las matemáticas pueden darle dos valores para una ecuación cuadrática, pero en el mundo real real, una de las soluciones puede ser simplemente absurda.
Como supongamos que un chico tiene una cantidad de dinero. El banco multiplica esa cantidad por sí mismo y se lo devuelve al tipo (¡ningún banco lo hará!). Ahora el chico tiene 36 $. Entonces, ¿cuánto tenía originalmente? Es fácil 6 $ goin por la ecuación x ^ 2 = 36. Pero hay otra solución matemática, es decir, -6 $. Ambas son igualmente verdaderas matemáticamente, pero en el mundo real, la segunda solución es absurda y no te dará la máxima puntuación.

Answer 5

Si estoy leyendo la pregunta correctamente, no me preguntas por qué las cuadráticas tienen dos raíces. Estás preguntando cómo puedes obtener dos factorizaciones distintas para la misma cuadrática.

Si el coeficiente de [matemática] x ^ 2 [/ matemática] no es 1 (tenga en cuenta que no puede ser cero, de lo contrario es una ecuación lineal), entonces la forma en que trate esto podría dar como resultado diferentes respuestas. Considere, por ejemplo:

[matemáticas] x ^ 2 – 1 = (x-1) (x + 1) [/ matemáticas]

Entonces, ¿cómo factorizarías [matemáticas] 2x ^ 2 – 2 [/ matemáticas]? Bueno, hay muchas formas, y todas son equivalentes:

[matemáticas] 2x ^ 2 – 2 = 2 (x-1) (x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2x ^ 2 – 2 = (2x – 2) (x + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2x ^ 2 – 2 = (x-1) (2x + 2) [/ matemáticas]

Probablemente el primero sea el más útil, pero los otros dos también son correctos.

Por supuesto, incluso se aplica cuando el coeficiente principal es 1:

[matemáticas] x ^ 2 – 1 = (\ frac {1} {2} x- \ frac {1} {2}) (2x + 2) [/ matemáticas]

Es este tratamiento del factor constante que puede ser la causa de múltiples respuestas correctas. Sin saber cuál fue su respuesta y la respuesta “oficial”, es difícil de decir. Matemáticamente, las factorizaciones polinómicas sobre los números complejos son únicas hasta el factor constante, por lo que esa es la única explicación que se me ocurre.

Answer 6

Por favor, descuida conmigo, sonará confuso al principio, pero al final tendrá sentido. Debido a que las funciones cuadráticas son funciones con el grado más alto de 2, esto significa que es un término que es cuadrado (ax ^ 2 + bx + c) Cuando x es cuadrado tendrá una solución positiva y negativa, por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es 2 o -2. Cuando solo hay una solución porque 0 y -0 son lo mismo, es por eso que solo hay una solución. Cuando mueve la gráfica de la función hacia arriba y hacia abajo en el plano cartesiano, obtendrá dos soluciones, una solución o ninguna solución. No obtendrá solución cuando x ^ 2 es un número negativo porque ningún número real al cuadrado le dará un número negativo. Espero que eso lo haga al menos un poco más intuitivo para ti.