¿Cómo representan los grupos las transformaciones geométricas?

Answer 1

Muchos de los grupos que verás son grupos de transformaciones geométricas. Cada elemento del grupo es una transformación geométrica.

Ejemplo : considere el grupo de isometrías del plano. Cada elemento de ese grupo es una isometría, donde por isometría se entiende un movimiento rígido del plano, o una transformación que preserva las distancias. Estás familiarizado con algunas de esas isometrías. Una reflexión a través de una línea es una isometría. Una rotación alrededor de un punto es una isometría. Una traducción es una isometría. El cuarto tipo de isometría es una reflexión de deslizamiento. Ver Grupos de fondos de pantalla: transformaciones.

La colección de todas estas isometrías forma un grupo. Es un grupo porque hay una operación binaria que toma dos de estas isometrías y da una tercera. La tercera es la composición de las dos: primero realice una operación, luego la otra. Como cada uno conserva la distancia, la composición también lo hace. Esta operación binaria satisface los axiomas para un grupo (que no repetiré aquí).

Entonces, los grupos no representan transformaciones geométricas, pero muchos grupos tienen elementos que son transformaciones geométricas.

Answer 2

Los grupos generales no representan transformaciones geométricas, aunque grupos específicos como el grupo diédrico. Es más apropiado decir que cualquier familia respetable de transformaciones geométricas debe formar un grupo bajo composición, y el estudio de grupos es el estudio de cómo se comportan objetos como ese.