Si [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​reales y [matemática] | a-1 | + | b-1 | [/ matemática] [matemática ] + [/ matemática] [matemática] | c-1 | + | a + 1 | [/ matemática] [matemática] + [/ matemática] [matemática] | b + 1 | + | c + 1 | = 12 [/ matemáticas], ¿cómo pruebo que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \ geq12 [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero, observe que si [matemática] \ left | a \ right | > 1 [/ math], luego [math] \ left | a-1 \ right | + \ left | a + 1 \ right | = 2 \ left | a \ right | [/ math], y if [math] \ left | a \ right | \ le 1 [/ math], luego [math] \ left | a-1 \ right | + \ left | a + 1 \ right | = 2 [/ matemáticas].

Así que dejemos [matemáticas] \ left | a \ right | > 1, \ left | b \ right | > 1, \ left | c \ right | > 1 [/ matemáticas]. Entonces [math] \ left | a \ right | + \ left | b \ right | + \ left | c \ right | = 6 [/ math]. Usando multiplicadores de Lagrange, podemos ver que [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 [/ matemática], sujeta a la restricción [matemática] \ left | a \ right | + \ left | b \ right | + \ left | c \ right | = 6 [/ math], está en un mínimo cuando [math] \ left | a \ right | = \ left | b \ right | = \ left | c \ right | = 2 [/ math ] En ese caso, [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 12 [/ matemáticas]. Entonces, para todas [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] \ izquierda | a \ derecha | + \ izquierda | b \ derecha | + \ izquierda | c \ derecha | = 6 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ left | a \ right | > 1, \ left | b \ right | > 1, \ left | c \ right | > 1 [/ matemáticas], [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \ ge 12 [/ matemáticas]

Sin pérdida de generalidad, dejemos [matemática] \ left | c \ right | \ le 1 [/ matemáticas]. Entonces tenemos [matemática] \ left | a \ right | + \ left | b \ right | = 5 [/ math]. El valor mínimo de [math] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 [/ math], sujeto a [math] \ left | a \ right | + \ left | b \ right | = 5 [/ math] y [matemáticas] \ left | c \ right | \ le 1 [/ math] ocurre cuando [math] \ left | a \ right | = \ left | b \ right | = \ frac {5} {2} [/ math] y [math] c = 0 [/ math ] Entonces [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = \ frac {25} {2}> 12 [/ matemáticas].

Finalmente, sin pérdida de generalidad, dejemos [matemática] \ left | b \ right | \ le 1 [/ math] y [math] \ left | c \ right | \ le 1 [/ matemáticas]. Entonces tenemos [matemáticas] \ left | a \ right | = 4 [/ matemáticas]. El valor mínimo sujeto a estas restricciones ocurre cuando let [math] b = c = 0 [/ math] y [math] \ left | a \ right | = 4 [/ math]. Entonces, [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 = 16> 12 [/ matemáticas]