¿Cómo calcularía [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | – \ dfrac {n \ ln n} {(n + 1) \ ln (n + 1)} \ right |? [/ Math]

Answer 1

Consideremos en cambio la expresión:
[matemáticas] f (n) = \ ln \ left (\ dfrac {n \ ln n} {(n + 1) \ ln (n + 1)} \ right) [/ math]
[matemáticas] – (\ ln (n + 1) – \ ln n) – (\ ln (\ ln (n + 1)) – \ ln (\ ln n)) [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que [math] \ dfrac {d} {dt} \ ln t = \ dfrac {1} {t} [/ math] y que [math] \ dfrac {d} {dt} \ ln (\ ln t) = \ dfrac {1} {t \ ln t} [/ math].

Según el teorema del valor medio, existen números [matemática] x_n \ in (n, n + 1) [/ matemática] y [matemática] y_n \ in (n, n + 1) [/ matemática] tales que:
[matemáticas] f (n) = – (\ ln (n + 1) – \ ln n) [/ matemáticas] [matemáticas] – (\ ln (\ ln (n + 1)) – \ ln (\ ln n) )[/matemáticas]
[math] = – \ dfrac {1} {x_n} – \ dfrac {1} {y_n \ ln (y_n)} [/ math].

Como [math] n \ to \ infty [/ math], tenemos [math] x_n \ to \ infty [/ math] y [math] y_n \ to \ infty [/ math].

Por lo tanto, [math] L = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} f (n) [/ math] [math] = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left [- \ dfrac {1} {x_n} – \ dfrac {1} {y_n \ ln (y_n)} \ right] = 0 [/ math].

De esto, tenemos [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ dfrac {-n \ ln n} {(n + 1) \ ln (n + 1)} \ right | [/ matemáticas] [matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} | -e ^ {f (n)} | = | -e ^ L | = | -e ^ 0 | = 1 [/ matemáticas].

Answer 2

El módulo no es necesario. Cada término es el producto de dos secuencias, a_n = n / (n + 1) y b_n = ln (n) / ln (n + 1), y cada una tiende a un límite de 1, por lo que el límite del producto es El producto de los límites: 1

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | – \ frac {n \ ln (n)} {(n + 1) \ ln (n + 1)} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left | \ frac {n \ ln (n)} {(n + 1) \ ln (n + 1)} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n \ ln (n)} {(n + 1) \ ln (n + 1)} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} (n \ ln (n))} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} ((n + 1) \ ln (n + 1))} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} (n) \ ln (n) + n \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} \ ln (n)} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} (n + 1) \ ln (n + 1 ) + (n + 1) \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} \ ln (n + 1)} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ ln (n) + \ frac {n} {n}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} n} (n) \ ln (n + 1) + \ frac {n + 1} {n + 1}} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ ln (n) +1} {\ ln (n + 1) +1} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} (\ ln (n) +1)} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} (\ ln (n + 1) +1)} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} \ ln (n)} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} \ ln (n + 1)} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ frac {1} {n}} {\ frac {1} {n + 1}} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {n + 1} {n} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} (n + 1)} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} n} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} n} n} {1} \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ left | \ lim_ {n \ to \ infty} 1 \ right | [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = | 1 | [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = 1 [/ matemáticas]