Si f (8) = 56, f (7) = 42, f (6) = 30, f (5) = 20 y (4) = 12, ¿qué significa f (3) =?

Answer 1

Oh, wow, dado que nadie ha hecho este método todavía, creo que lo demostraré.

Todos los polinomios siguen el concepto de diferencias finitas. Básicamente, si toma la diferencia entre valores igualmente distanciados suficientes veces, obtendrá una constante entre todas las diferencias. Lo mostraré con los valores de [math] f (x) = x ^ 2 [/ math].

XList: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

Lista Y: [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49]

Proceso:

0 1 4 9 16 25 36 49

1 3 5 7 9 11 13

2 2 2 2 2 2

Todos los 2, genial.

Si lo hiciste con [matemáticas] f (x) = x ^ 3 [/ matemáticas], obtendrías una diferencia finita de 6.

con [matemáticas] f (x) = x ^ 4 [/ matemáticas], obtendrás 24.

¿Ves algo entre los valores? es [math] a * n! [/ math] donde n es el grado de [math] f (x) [/ math] y [math] a [/ math] es el coeficiente. Para distinguir entre los dos, puede contar la cantidad de veces que tuvo que tomar la diferencia , lo que le dará un recuento exacto del grado . ¿Notan cómo dije grado ? Eso implica que puedes tener múltiples términos en el polinomio. Sin embargo, en la ” primera aproximación ” solo se ven los resultados de grado.

Tienes que “re-aproximar ” varias veces antes de obtener una representación polinómica real. Ahora demostraré los valores anteriores …

X: 5 6 7 8

Y: 20 30 42 56

10 12 14 <- primeras diferencias

2 2 <- segundas diferencias

Entonces … ya sabes [matemáticas] a * n! [/ math] es 2 y [math] n = 2 [/ math] porque tenías que tomar la diferencia 1 .. 2 veces. Entonces es un polinomio de segundo grado con [matemáticas] 2/2 [/ matemáticas] como su coeficiente. Entonces, el primer término es [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]. Veamos si modelamos esto …

[matemáticas] f (x) = 25! = 20 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = 36! = 30 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = 49! = 42 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = 64! = 56 [/ matemáticas]

Oh, entonces no lo modela por completo . Eso es porque podría haber más términos que solo el primer término (woah, qué sorpresa). Veamos qué nos perdimos, luego repita el proceso sobre las diferencias para compensar de manera efectiva lo que esta estimación pierde.

[matemáticas] x = 5, \ triángulo f (x) = 20-25 = -5 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 6, \ triángulo f (x) = 30 – 36 = -6 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 7, \ triángulo f (x) = 42-49 = -7 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 8, \ triángulo f (x) = 56-64 = -8 [/ matemáticas]

Puede completar el proceso de diferencia nuevamente y obtener -1 en la primera diferencia, lo que significa un polinomio lineal con coeficiente -1 , o podría ser un PRO absoluto y simplemente ver que el término que tenemos que agregar es [matemática] -x [/ matemáticas].

En conclusión, [matemáticas] f (x) = x ^ 2 + (-x) [/ matemáticas]

O … [matemáticas] f (x) = x ^ 2-x [/ matemáticas].

Al conectar 4, obtenemos 16-4 = 12.

Entonces. [matemáticas] f (4) = 12 [/ matemáticas].

NOTA, POR FAVOR VEA: Como lo han dicho muchas otras personas en este hilo, hay infinitas funciones que pasan por cualquier conjunto de puntos. Este método devuelve el polinomio con el menor grado / complejidad . Podrías hacer algunas cosas funky con las diferencias finitas para modelar una ecuación más complicada si lo deseas, y eso devolvería respuestas diferentes.

Puedes hacer muchas cosas geniales con este método, te recomiendo echarle un vistazo. Para cualquier tipo de cálculo, ¡intenta descubrir por qué la diferencia finita de [matemáticas] a * x ^ n [/ matemáticas] es [matemáticas] a * n! [/matemáticas]. Puedes reconocerlo.

Answer 2

Resulta que el ‘?’ puede ser lo que queramos que sea!

Permíteme ilustrar. Tome por ejemplo, f (x) = (1/40) x ^ 4- (13/20) x ^ 3 + (291/40) x ^ 2- (553/20) x + 42, y evalúe f (8 ), f (7), f (6), f (5), f (3). Resulta que:

f (8) = 56,

f (7) = 42,

f (6) = 30,

f (5) = 20,

f (3) = 9.

Espera, ¿qué hechicería es esta? Resulta que aunque la regla popular f (x) = x (x-1), que da f (x) = 6, satisface los valores conocidos en la secuencia, que f (x) = (1/40) x ^ 4 – (13/20) x ^ 3 + (291/40) x ^ 2- (553/20) x + 42 también los satisface, ¡excepto con un valor diferente de f (3)!

Aquí hay otro que también funciona pero da f (3) = 12:

f (x) = (1/20) x ^ 4- (13/10) x ^ 3 + (271/20) x ^ 2- (543/10) x + 84

Y aquí hay uno donde f (3) = π

f (x) = (1/120) (π-6) x ^ 4- (13/60) (π-6) x ^ 3 + (1/120) (251π-1386) x ^ 2 + (1 / 60) (3138-533π) x + 14 (π-6)

Finalmente, en general, si desea ‘?’ = K, es decir, f (3) = k donde k es el valor de su elección, entonces

(1/120) (k-6) x ^ 4- (13/60) (k-6) x ^ 3 + (1/120) (251k-1386) x ^ 2 + (1/60) (3138- 533k) x + 14 (k-6)

Más detalles aquí:

Secuencias elementales

Answer 3

Sea n la secuencia numérica en el paréntesis.
Cuando n = 8, el número es 56
Cuando n = 7, el número es 42
Cuando n = 6, el número es 30
Cuando n = 5, el número es 20
56.42,30,20
¿Ves que la diferencia común es 14,12,10 respectivamente?
¿Y también la segunda diferencia común de 14,12 y 10 es un constante 2?
Entonces, su fórmula debe ser a (n ^ 2) + bn + c, que es igual a f (n).
Sub en n con 8 te dará:
64a + 8b + c = 56 —– eq 1
Sub en n con 7 te dará:
49a + 7b + c = 42 —– eq 2
Sub en n con 6 te dará:
36a + 6b + c = 30 —– eq 3
Después de obtener 3 ecuaciones, resuelve a, b & c simultáneamente.
ecuación 1 – ecuación 2
15a + b = 14 —– eq 4
ecuación 2 – ecuación 3
13a + b = 12 —– eq 5
Ahora puedes resolver para ayb,
ecuación 4 – ecuación 5
2a = 2
a = 1
Entonces, con la ecuación 5,
13 (1) + b = 12
b = -1
Y con la ecuación 3,
36 (1) + 6 (-1) + c = 30
c = 0
Por lo tanto, f (n) = n ^ 2 – n
Ahora verifica, cuando
n = 8, ¿es 56?
(8) ^ 2 – 8
= 56
Entonces podría decir con seguridad que f (3),
(3) ^ 2 – 3
= 6
Por lo tanto, f (3) = 6

Answer 4

Este es otro problema de “ajustar un polinomio de orden N a puntos de datos N + 1”. Aquí, hay 4 puntos de datos, por lo que un polinomio cúbico (y = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d) puede ajustarse exactamente a los cuatro puntos de datos (8, 56), (7 , 42), (6, 30) y (5, 20). Una vez que se determinan los coeficientes del polinomio, solo es cuestión de conectar otro valor de x (en este caso, x = 3) para ver qué escupe la fórmula para y. (No me he molestado en seguir con las matemáticas; lo dejo como un ejercicio para los demás. No porque no sepa cómo hacerlo; simplemente me siento demasiado vago para hacerlo ahora).

Realmente comenté sobre este tipo de pregunta aquí:

¿Qué viene después de 2, 5, 9, 13, 37?

El punto principal que hice en esa respuesta fue que este método de ajuste exacto de la curva polinómica, aunque puede ser divertido jugar en el arenero / patio de recreo matemático, en realidad no se usa mucho para ajustar la curva de un modelo matemático adecuado funcionar a los datos recopilados para un fenómeno o proceso observado. Estas funciones polinómicas de ajuste exacto se mueven bastante y en realidad son muy pobres para la interpolación entre puntos de datos o para la extrapolación fuera del rango de los puntos de datos. Mucho más útil es una curva ajustada óptimamente de “mínimos cuadrados” del modelo matemático apropiado del fenómeno / proceso, basado en una comprensión de cómo funciona.

Answer 5

Mirando esto, pude ver un patrón claro.

Darse cuenta de:

1. f (8) = 56 y 8 x 7 = 56.
2. f (7) = 42 y 7 x 6 = 42.
3. f (6) = 30 y 6 x 5 = 30.
4. f (5) = 20 y 5 x 4 = 20.

Tienes la idea; la función multiplica la entrada por un número que es uno menos que la entrada. Escribiendo esto formalmente, es:

[matemáticas] f (x) = x (x – 1)
[/matemáticas]

S0 la pregunta para resolver f (3), ¿verdad? Intuitivamente, usando lo que acabo de decir, se podría decir que la respuesta es 3 multiplicada por (3 – 1) que es 3 x 2 = 6. [matemática]
[/matemáticas]

Pero solo por completar, si ingresas x = 3 en la función, obtienes f (3) = 3 (2) = 6, que debería ser la respuesta correcta.

En caso de duda, comience de manera simple y evite pensar en la pregunta que lo engaña a menos que sea absolutamente necesario; lo más probable es que sea realmente más fácil de lo que piensa.

Answer 6

Creo que el punto más importante es que la forma en que formuló su pregunta es engañosa.

Si está pensando en una secuencia como la que encontraría en una prueba de lógica, entonces sugeriría que la respuesta sea probablemente 6, por las diversas razones que ya han dado otros.

Si solo está hablando de una función que se ajuste a esos puntos, entonces las respuestas de Christopher Kennedy y Joel Frankford aquí son correctas; y esto explica por qué diferentes personas dieron respuestas válidas a la secuencia: dado un subconjunto finito de puntos, en realidad puede crear un número infinito de funciones que pasarán por esos puntos (siempre que, por supuesto, las coordenadas en el eje sean todas diferentes)

---

Quizás más interesante que la respuesta en sí, así es como se puede hacer:

Deje que [math] \ left (x_ {1}, …, x_ {n} \ right) [/ math] sea un subconjunto de números reales distintos y [math] \ left (a_ {1}, …, a_ {n} \ right) [/ math] sea un subconjunto de números reales.

Desea crear una función f tal que [math] \ forall k \ in \ left \ {1; n \ right \}, f (x_k) = a_k [/ math]

Es realmente fácil hacerlo desde un punto de vista teórico utilizando los polinomios de interpolación de Lagrange . Sin embargo, antes de exponerlo, creo que es importante entender cómo funcionan realmente.

Debe crear una función que atraviese todos los puntos que seleccionó. La intuición notable que tenía Lagrange es que esto se hace con bastante facilidad si puede crear no uno, sino muchos polinomios, que producirán los elementos neutros de las leyes de composición interna más básicas (+ y *, por lo tanto, 0 y 1) en el puntos específicos que necesita, y luego multiplíquelos y suméelos como desee.

Por ahora consideraremos n = 2

Esa es una manera muy jerárquica de decir que si tenemos un polinomio llamado [math] L_1 [/ math] y un polinomio llamado [math] L_2 [/ math] como:
[matemática] L_1 (x_1) = 1 [/ matemática] y [matemática] L_1 (x_2) = 0 [/ matemática];
[matemáticas] L_2 (x_1) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 (x_2) = 1 [/ matemáticas]

entonces se sigue bastante rápido que [matemáticas] P = a_1 * L_1 + a_2 * L_2 [/ matemáticas] es una función que satisface nuestros requisitos ya que [matemáticas] P (x_1) = a_1 * L_1 (x_1) + a_2 * L_2 (x_1 ) = a_1 * 1 + a_2 * 0 = a_1 [/ math] y el mismo razonamiento produce [math] P (x_2) = a_2 [/ math]

La pregunta que queda ahora es, ¿cómo podemos realmente obtener esos polinomios?

Así es como funciona para crear [matemáticas] L_1 [/ matemáticas]:
Primero, queremos [math] L_1 (x_2) = 0 [/ math], por lo que probablemente deberíamos comenzar a crear nuestro polinomio usando [math] \ left (X-x_2 \ right) [/ math], de esa manera tenemos un 0 cuando se evalúa en [matemáticas] x_2 [/ matemáticas]

Entonces necesitamos hacer esto 1 cuando se evalúa en [math] x_1 [/ math]. ¿Qué tal si dividimos entre [matemáticas] \ left (x_1-x_2 \ right) [/ math]. De esa forma, nuestro polinom [matemático] L_1 [/ matemático] se convierte en [matemático] \ frac {\ left (X-x_2 \ right)} {\ left (x_1-x_2 \ right)} [/ math] y satisface nuestras dos condiciones.

Con el mismo razonamiento, creamos [matemáticas] L_2 (X) =) \ frac {\ left (X-x_1 \ right)} {\ left (x_2-x_1 \ right)} [/ math]

¡Y ahora tenemos nuestra función P que pasa por nuestros puntos!

Volver al caso general con [math] n \ in \ mathbb {N} ^ * [/ math]

Siguiendo la misma intuición, podemos introducir el siguiente subconjunto de polinomios:

[matemáticas] \ forall k \ in \ left \ {1; n \ right \}, L_k (X) = \ frac {\ prod_ {i \ neq k} ^ {} {\ left (X-x_ {i} \ derecha)}} {\ prod_ {i \ neq k} ^ {} {\ left (x_ {k} -x_ {i} \ right)}} [/ math]

que tienen las mismas propiedades que antes, a saber:
[matemática] L_k (x_k) = 1 [/ matemática] y [matemática] \ forall i \ neq k \ in \ left \ {1; n \ right \}, L_k (x_i) = 0 [/ matemática].

Entonces se sigue que si dejamos que [math] P = \ sum_ {k = 1} ^ {n} {a_k \ cdot L_k} [/ math]; entonces tendremos:
[matemáticas] \ forall i \ in \ left \ {1; n \ right \}, P (x_i) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} {a_k \ cdot L_k (x_i)} = a_1 * L_1 ( x_i) + (…) + a_i * L_i (x_i) + (…) + a_n * L_n (x_i) = a_1 * 0 + (…) + a_i * 1 + (…) + a_n * 0 = a_i [/ ​​matemáticas] , que es exactamente lo que estábamos buscando.

Ahora lo tenemos, hemos creado una función (un polinom en este caso) que pasa por todos los puntos que queríamos.

¿Cómo podemos pasar de esta función a un número infinito de funciones?

Lo que otras personas intentaban explicar aquí es que no hay una sola función que satisfaga esas condiciones, lo que explica que no podemos saber con certeza a qué equivale f (3).

Así es como lo explicaría:
Es realmente fácil, como hemos visto, crear muchas funciones que producen 0 cuando se evalúan en diferentes coordenadas de eje.
En nuestro caso, puedo pensar, por supuesto, en [matemáticas] f_ {1} \ left (x \ right) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} {\ left (x-x_ {i} \ right)} [/ math], que es el truco que usamos para crear los polinomios de Lagrange, pero también [math] f_j (x) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} {\ left (x-x_ {i} \ right )} ^ j [/ math] donde j es un entero no nulo. Tenga en cuenta que hay un número infinito de funciones [math] f_j [/ math].

Lo interesante es que para cualquier j; [matemáticas] P + f_j [/ matemáticas] es una función que pasa exactamente por los puntos que queríamos.

Así que ahora tenemos el conjunto infinito de funciones [matemáticas] \ left (P + f_ {j} \ right) _ {j \ in \ mathbb {N} ^ *} [/ math] que satisfacen todos los requisitos , y es Es muy probable que si aplicamos eso al caso, sugiera: [matemáticas] (a_1, a_2, a_3, a_4) = (20,30,42,56) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x_1, x_2, x_3, x_4) = (5,6,7,8) [/ matemáticas]; todas esas funciones darían resultados muy diferentes cuando se evalúen en 3.

Nota: las funciones creadas con polinomios obviamente no son TODAS las funciones que satisfacen dichos requisitos, también se puede pensar en cosas más elegantes como [matemáticas] e ^ {\ prod_ {i = 1} ^ {n} {\ left (x- x_ {i} \ right)}} \ cdot P [/ math] y cosas realmente más complejas, pero entendiste el punto.

Answer 7

Primero que nada necesitas encontrar el valor de f

Por lo tanto, dividamos el resultado entre el no además de f …

1. 56 ÷ 8 = 7 (es decir, 8 • 7 = 56)
2. 42 ÷ 7 = 6 (es decir, 7 • 6 = 42)
3. 30 ÷ 6 = 5 (es decir, 6 • 5 = 30)
4. 20 ÷ 5 = 4 (es decir, 5 • 4 = 20)

Después de observar la serie anterior, llegamos a la conclusión de que el no además de f cuando se multiplica por el no anterior a ese no nos da el resultado

Aquí, cuando 3 se multiplica por el no que viene antes de que (2) nos dé 6 (es decir, 3 • 2 = 6)

Por lo tanto, al continuar la serie anterior

3 × 2 = 6

Espero que lo entiendas 🙂

Answer 8

La respuesta más simple a esto sería:
[matemáticas] f (x) = x (x-1) [/ matemáticas]

Lo que haría
[matemáticas] f (3) = 6 [/ matemáticas]

Sin embargo, la función puede, en realidad, ser cualquier función de la forma
[matemáticas] x (x-1) + g (x) [/ matemáticas]

Dónde
[matemáticas] g (8) = g (7) = g (6) = g (5) = 0 [/ matemáticas]

Un ejemplo simple de esto sería:
[matemáticas] g (x) = (x-8) (x-7) (x-6) (x-5) [/ matemáticas]
Lo que haría
[matemáticas] f (x) = x (x-1) + (x-8) (x-7) (x-6) (x-5) [/ matemáticas]

De hecho, esto nos daría:
[matemáticas] f (8) = 56 \\ f (7) = 42 \\ f (6) = 30 \\ f (5) = 20 [/ matemáticas]

Sin embargo, haría
[matemáticas] f (3) = 126 [/ matemáticas]

Podemos decir que [matemáticas] x (x-1) [/ matemáticas] es el polinomio único de grado menor que 4 que pasa por estos cuatro puntos. Esto se llama un polinomio de interpolación de Lagrange. Hay otros polinomios de grado 4 o superior que pasan por los cuatro puntos que satisfacen las cuatro condiciones.

Answer 9

f (n) = n * (n-1) = n²-n

f (3) = 3 * 2 = 6, f (4) = 4 * 3 = 12, f (5) = 5 * 4 = 20, f (6) = 6 * 5 = 30, f (7) = 7 * 6 = 42, f (8) = 8 * 7 = 56

Interesante no es la fórmula matemática para resolver esto, sino la forma de llegar a la solución.

La solución rápida fue notar que 42 es 6 * 7 y 56 es 7 * 8, desde donde todo se agitó. 56 y 42 son una especie de números especiales, supongo, porque comparten el 7, que es un número primo y usted reconoce el primo “grande” en el contexto de esta secuencia como un divisor común. Y compartiendo el 7 los siguientes dos compartiendo el 6 y el siguiente el 5 … Hecho.

No es por las matemáticas (Lagrange), se hace de manera más eficiente al “ver”, significa detectar y probar divisores comunes. Sería interesante, si eso puede ser automatizado. Pero casi siempre puedes construir algo más complicado para encajar en un problema simple. Como Mark Harrison hizo en una broma a continuación.

Entonces, la pregunta no es “cuál es la solución” sino “cuál es la solución más simple” para esta secuencia. Como en la ciencia, no se trata de buscar ninguna respuesta, sino de la respuesta más básica de la pregunta y de cortar todo lo que está camuflando la respuesta más fácil.

Y, por cierto, no me gustan los polinomios de Lagrange para tales problemas. Todo más de tres puntos significa que las calificaciones se volverán caóticas e inutilizables. Si intenta resolver los datos del sensor con eso para suavizarlo, obtendrá una predicción muy inestable y los valores que intenta interpolar entre los puntos pueden estar en cualquier lugar. Lagrange solo te da una curva, que atraviesa todos los puntos. No le da nada que sea simple, fácil y utilizable.

No me gusta Lagrange como respuesta. Es como evitar la pregunta dando una solución muy complicada en lugar de tratar de reducir la respuesta y descomponerla. Y realmente resuélvelo.

La solución tiene que ver con la cognición y la deducción. Y no con las matemáticas “superiores”. Si intentara enseñar a estos niños, trataría de ayudarlos a ver el patrón y desarrollar sus habilidades cognitivas. No principalmente su matemática.

El principio de simplificar todo y descomponerlo es muy importante en la ciencia. Este proceso divide el modelo excesivamente complicado que es correcto pero inutilizable y los pequeños y elegantes, que realmente te ayudan, porque te dan una herramienta mental.

Answer 10

Para cualquier secuencia matemática, hay un número infinito de formas posibles de llegar a la misma secuencia.

La secuencia que salta hacia mí es f (n) = n (n-1), pero se han sugerido muchas otras secuencias correctas.

Por ejemplo: 8 (8-1) = 56
7 (7-1) = 42
etc. etc. etc.
f (3) = 3 (3-1) = 6
f (2) = 2 (2-1) = 2
f (1) = 1 (1-1) = 0
f (0) = 0 (0-1) = 0
f (-1) = – 1 (-1-1) = 2
f (-2) = – 2 (-2-1) = 6

Muy bien, ¿verdad?

Answer 11

Como podemos entender de la serie.

n (n-1)

f (8) = 8 × 7 = 56

f (7) = 7 × 6 = 42

f (6) = 6 × 5 = 30

f (5) = 5 × 4 = 20

Similar,

f (4) = 4 × 3 = 12

Y,

f (3) = 3 × 2 = 6

¡Gracias!

Answer 12

Esta es bastante fácil …

Sea F (n) la función para la serie anterior.

Entonces F (n) = n * (n-1)

F (8) = 8 * 7 = 56

F (7) = 7 * 6 = 42

F (6) = 6 * 5 = 30

F (5) = 5 * 4 = 20

Entonces F (3) = 3 * 2 = 6

Espero que haya sido lo suficientemente claro.

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Gracias por leer..

Answer 13

Construyamos una función cúbica que satisfaga la hipótesis utilizando el teorema de interpolación de Lagrange. (De hecho, podemos construir un cuarto y luego tomar diferencias. Sabemos que [math] f (3) \ equiv 6 \ mod 120 [/ math] para un cuartario arbitrario y solo necesitamos sumar / restar polinomios de la forma [matemáticas] (x-5) (x-6) (x-7) (x-8) [/ matemáticas] hasta que reduzcamos el problema a un cúbico.)

Sea [matemáticas] f (x) = a (x-5) (x-6) (x-7) [/ matemáticas] [matemáticas] + b (x-5) (x-6) (x-8) [ / matemáticas] [matemáticas] + c (x-5) (x-7) (x-8) [/ matemáticas] [matemáticas] + d (x-6) (x-7) (x-8) [/ matemáticas ] Entonces [matemática] a = f (8) / 6 = 28/3 [/ matemática], [matemática] b = f (7) / (- 2) = -21 [/ matemática], [matemática] c = f ( 6) / 2 = 15 [/ matemáticas] y [matemáticas] d = f (5) / (- 6) = -10/3 [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] f (3) [/ matemáticas] [matemáticas] = -28 / 3 * 24 + 21 * 30-15 * 40 + 10/3 * 60 [/ matemáticas] [matemáticas] = -28 * 8 + 630-600 + 200 [/ matemáticas] [matemáticas] = -224 + 230 = 6 [/ matemáticas]. Entonces, [matemáticas] f (3) = 6 [/ matemáticas] sería una “buena” suposición.

Esto da lugar a por qué encontramos un cúbico, ya que si f y g satisfacen las mismas condiciones iniciales, sabemos que [matemática] h (x) = (fg) (x) = 0 [/ matemática] para [matemática] x = 5, 6, 7, 8 [/ matemáticas]. Según el teorema fundamental del álgebra (y piense en [math] \ mathbb {C} [/ math] como el campo de división de polinomios con coeficientes racionales), podemos escribir [math] h (x) = k (xa) (xb ) (xc) = 0 [/ math] (donde k no es cero) iff [math] x \ in \ left \ {a, b, c \ right \} [/ math]. Sin embargo, 5, 6,7 y 8 son raíces distintas; Una contradicción. Y así [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas]. Llegamos a la conclusión de que [matemáticas] h (x) = 0 [/ matemáticas] y por lo tanto [matemáticas] f (x) = g (x) \; \ forall x \ in \ mathbb {C} [/ math].

Por lo tanto, por generalización, podemos construir de manera única un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] que satisfaga las condiciones iniciales [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]. Por supuesto, sin embargo, no hay garantía de una solución al problema tal como está. Los problemas que no están bien definidos se ignoran mejor.

Answer 14

Se nos dice que:

f (8) = 56 = 8 (7)

f (7) = 42 = 7 (6)

f (6) = 30 = 6 (5)

f (5) = 20 = 5 (4)

Vemos un patrón y una relación funcional aquí que f (n) = n (n ̶ 1), donde n es un número entero positivo; por lo tanto:

f (3) = 3 (3 ̶ 1)

= 3 (2)

= 6

Answer 15

La respuesta es 6

f (8) = 56.… 8 × 7

f (7) = 42… .7 × 6

f (6) = 30… ..6 × 5

f (5) = 20… ..5 × 4

f (4) = 12… ..4 × 3

f (3) = 6 …………… 3 × 2

Debido a que hay un patrón, el número dentro de la función se multiplica por el número anterior.

Answer 16

f (3) = 6

Esto se debe a que en f (8) = 56, f * 8 = 56. 56/8 = 7. f = 7.

En f (7) = 42, f * 7 = 42. 42/7 = 6. f = 6.

En ambos casos, la respuesta es que el número entre corchetes se eleva al cuadrado, luego se resta el número original. Por ejemplo, f (6). 6 al cuadrado es 36. 36-6 = 30.

f (5); 5 al cuadrado es igual a 25. 25-5 = 20.

Alternativamente, uno podría resolverlo multiplicando (el número original) por (el número original menos uno) {n- (n-1)}

Así: 6 * (6-1) = 30

O: 5 * (5-1) = 20

Espero que esto tenga sentido.

Answer 17

Si interpreta claramente los datos, encontrará

f (8) = 8 * 7

f (7) = 7 * 6

f (6) = 6 * 5

f (5) = 5 * 4

F (4) = 4 * 3

F (3) = 3 * 2 = 6

Esta es la secuencia ……

Answer 18

No necesita indicar esto como una secuencia, porque el problema no lo dijo. Solo tienes que saber qué 3 = ?.

8 = 56 (8 * 7 = 56)

7 = 42 (7 * 6 = 42)

6 = 30 (6 * 5 = 30)

5 = 20 (5 * 4 = 20)

Claramente, el resultado es cada número multiplicado por su predecesor.

3 = 3 × 2 = 6.

Answer 19

Supongamos que tiene Excel a su alcance. Vamos a usar esto porque es una práctica fácil y útil para todos.

Ábrelo y comienza un libro en blanco.

En una columna, escriba x y en la otra tipo f (x).

La razón por la que cambié esto del formato dado del problema se hará evidente en un momento …

Vaya a la pestaña de inserción y busque la cinta de gráficos. Insertar un gráfico de dispersión básico. Haga clic derecho en el gráfico en blanco que aparece y seleccione la opción “Seleccionar datos”. Haga clic en el botón “Agregar”. Haga clic en el cuadro vacío “Valores de la serie X” y luego pase el mouse a sus datos X. Presione el botón izquierdo del mouse y manténgalo presionado para seleccionar todos los valores X. Haga esto también para los valores Y.

Haga clic derecho en cualquier punto de datos. Añadir una línea de tendencia. Un cuadro de formato debe aparecer simultáneamente. Juega con las opciones dadas para encontrar un buen ajuste para los puntos (para este problema en particular, un polinomio de orden 2 fue genial, esta era la opción predeterminada). Busque el cuadro para hacer clic en “Mostrar ecuación en el gráfico”. Use esta ecuación para encontrar el valor deseado en excel.

Haga esto escribiendo en otra celda en blanco de su libro de Excel: = ecuación encontrada

Ejemplo:

• la ecuación encontrada y mostrada en el gráfico es: y = x ^ 2-x-1E-13 (el -1E-13 es esencialmente cero, ignórelo).
• Escriba en una celda = (some_new_cell) ^ 2- (some_new_cell)
• Para encontrar el valor que estamos buscando (para nosotros, cuando escribimos 3 en nuestra nueva celda) simplemente escriba el valor de 3 y nuestra ecuación escupirá el valor que coincida con la Línea de tendencia.

Answer 20

Hay 2 posibles respuestas diferentes, 6 y 9.

Si toma la respuesta y divide la respuesta entre el número entre paréntesis, obtiene la secuencia 7, 6, 5, 4, contando desde 7, el siguiente número natural en la secuencia sería 3.

Si a la secuencia le falta una ecuación, la f que falta (4) =? dónde ? entonces sería 12. f (4) = 12 porque sería 3 * (4) = 12. 3 es el siguiente en la secuencia, que luego sería el siguiente en la secuencia 2, que luego daría la solución a f (3) =? ser f (3) = 6, porque 2 * (3) = 6.

f (8) = 56, 7 * (8)

f (7) = 42, 6 * (7)

f (6) = 30, 5 * (6)

f (5) = 20, 4 * (5)

f (4) = 12, 3 * (4)

f (3) = 6 2 * (3)

Si a la secuencia dada no le faltan ecuaciones, entonces la respuesta es 9.

Si toma la respuesta y divide la respuesta entre el número entre paréntesis, obtiene la secuencia 7, 6, 5, 4, el siguiente número natural en la secuencia sería 3.

Entonces multiplicas el 3 con 3 entre paréntesis, el reverso de la división y obtienes el

responde como 9.

f (8) = 56, 7 * (8)

f (7) = 42, 6 * (7)

f (6) = 30, 5 * (6)

f (5) = 20, 4 * (5)

Esto debería ser

f (3) = 9 3 * (3)