¿Es posible evaluar [math] \ int \ sqrt {\ sec x} \, dx [/ math]? En caso afirmativo, ¿cómo evaluarlo?

Answer 1

No hay antiderivada elemental. Sin embargo,

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int \ sqrt {\ sec (x)} \ mathrm {dx} = \ int \ frac {1} {\ sqrt {\ cos (x)}} \ mathrm {dx} [/ math ]

Usaré la integral elíptica del primer tipo, que permite soluciones bastante agradables para integrales como esta. Es algo que aprendí de una de las respuestas de Awnon 🙂

Usando la identidad de doble ángulo, [matemática] \ displaystyle \ cos (x) = 2 \ cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) – 1 [/ matemática].

Entonces nuestra integral es ahora [math] \ displaystyle I = \ int \ frac {1} {\ sqrt {2 \ cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) – 1}} \ mathrm {dx} [/ math ]

[matemáticas] \ displaystyle t = \ frac {x} {2} \ implica \ mathrm {dt} = \ frac {1} {2} \ mathrm {dx} \ implica 2 \ mathrm {dt} = \ mathrm {dx} [/matemáticas].

Entonces, nuestra integral se convierte en [matemática] \ displaystyle I = 2 \ int \ frac {\ mathrm {dt}} {\ sqrt {2 \ cos ^ 2 (t) – 1}} [/ math]. Podemos reescribir esto como [math] \ displaystyle I = 2 \ int \ frac {\ mathrm {dt}} {\ sqrt {1–2 \ sin ^ 2 (t)}} [/ math].

Entonces, tenemos [matemáticas] \ boxed {I = 2F (t | 2) + C = 2F (\ frac {x} {2} | 2) + C} [/ math]

Notas:

[matemáticas] \ displaystyle F (x | k) = F (x, \ sqrt {k}) = \ int_ {0} ^ {x} \ frac {\ mathrm {d \ theta}} {\ sqrt {1-k \ sin ^ 2 (\ theta)}} [/ math]

Si necesita un aproximado para una integral definida, use Wolfram Alpha con el comando EllipticF.

Answer 2

[matemáticas] Sí [/ matemáticas]

Tome secx como alguna variable t ^ 2.

entonces

secx = t ^ 2

diferenciando en ambos lados

tanx .secx .dx = 2 .t.dt

esta es una pista