Cómo resolver [matemáticas] y (x + y + 1) dx + x (x + 3y + 2) dy = 0

Answer 1

Reescribimos la ecuación como la siguiente:
[matemáticas] \ displaystyle {(xy + y ^ 2 + y) \ mathrm {d} x + (x ^ 2 + 3xy + 2x) \ mathrm {d} y = 0} \ quad (1) [/ math]

Nos damos cuenta de que el formato de (1) está muy cerca de una expresión de diferencia total de una determinada función [matemática] u = u (x, y) [/ matemática]. Así que intentaremos definir [matemáticas] u = u (x, y) [/ matemáticas] con la siguiente condición:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x} = xy + y ^ 2 + y} \ quad (2) [/ math]

Integramos (2) con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {u = \ frac {x ^ 2y} {2} + xy ^ 2 + xy + g (y)} \ quad (3) [/ matemáticas]
donde [math] g (y) [/ math] es una función que se resolverá más adelante.

Además, usando (3) tenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y} = \ frac {x ^ 2} {2} + 2xy + x + g ‘(y)} \ quad (4) [/ math]

Notamos que en el lado derecho de (4) hay 3 términos que contienen la variable [matemática] x [/ matemática] así que si tratamos de forzar [matemática] \ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y} = \ frac {x ^ 2} {2} + 2xy + x} [/ math] luego la función [math] g (y) [/ math] debe satisfacer:
[matemáticas] \ displaystyle {g ‘(y) = 0} [/ matemáticas]

Esto significa [matemáticas] g (y) = C = constante [/ matemáticas]. Debido a que la elección del valor de la constante [matemática] C [/ matemática] no tiene impactos en el resultado final, por conveniencia establecemos [matemática] C = 0 \ Punta de flecha g (y) = 0 [/ matemática]

Luego tenemos [math] \ displaystyle {u = \ frac {x ^ 2y} {2} + xy ^ 2 + xy} [/ math] que satisface:
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial x} = xy + y ^ 2 + y} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial y} = \ frac {x ^ 2} {2} + 2xy + x} [/ math]

Ahora es el momento de reformular la ecuación (1) usando el resultado de [math] u [/ math] con la expectativa de que sea más fácil de resolver. Entonces (1) se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle {\ left [(xy + y ^ 2 + y) \ mathrm {d} x + \ left (\ frac {x ^ 2} {2} + 2xy + x \ right) \ mathrm {d} y \ right] + \ left (\ frac {x ^ 2} {2} + xy + x \ right) \ mathrm {d} y = 0} [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ displaystyle {\ left (\ frac {\ partial u} {\ partial x} \ mathrm {d} x + \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ mathrm {d} y \ right ) + \ left (\ frac {x ^ 2} {2} + xy + x \ right) \ mathrm {d} y = 0} [/ math]
[math] \ Rightarrow \ displaystyle {\ mathrm {d} u + \ left (\ frac {x ^ 2} {2} + xy + x \ right) \ mathrm {d} y = 0} [/ math] porque [ matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {d} u = \ frac {\ partial u} {\ partial x} \ mathrm {d} x + \ frac {\ partial u} {\ partial y} \ mathrm {d} y} [/matemáticas]
o
[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {d} \ left (\ frac {x ^ 2y} {2} + xy ^ 2 + xy \ right) + \ left (\ frac {x ^ 2} {2} + xy + x \ right) = 0} \ quad (3) [/ math] debido a [math] \ displaystyle {u = \ frac {x ^ 2y} {2} + xy ^ 2 + xy} [/ math] como arriba

Multiplicamos ambos lados de (3) por dos, luego se convierte en:
[matemáticas] \ mathrm {d} (x ^ 2y + 2xy ^ 2 + 2xy) + (x ^ 2 + 2xy + 2x) \ mathrm {d} y = 0 [/ math]
[math] \ Rightarrow \ mathrm {d} [y (x ^ 2 + 2xy + 2x)] + (x ^ 2 + 2xy + 2x) \ mathrm {d} y = 0 \ quad (4) [/ math]

Deje [math] v = x ^ 2 + 2xy + 2x [/ math] luego (4) se convierte en:
[math] \ mathrm {d} (yv) + v \ mathrm {d} y = 0 [/ math]
[math] \ Rightarrow y \ mathrm {d} v + v \ mathrm {d} y + v \ mathrm {d} y = 0 [/ math]
[matemática] y \ mathrm {d} v + 2v \ mathrm {d} y = 0 \ quad (5) [/ math]

Notamos que (5) es un ODE separable, por lo que puede reescribirse como el siguiente: [math] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v} {v} = – \ frac {2 \ mathrm {d} y} {y}} \ quad (6) [/ matemáticas]

La solución a (6) es:
[matemáticas] \ displaystyle {v = \ frac {K} {y ^ 2}} [/ matemáticas] donde [matemáticas] K [/ matemáticas] es una constante constante

Finalmente tenemos la solución a (1) que es:
[matemáticas] \ displaystyle {x ^ 2 + 2xy + 2x = \ frac {K} {y ^ 2}} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] xy ^ 2 (x + 2y + 2) = K [/ matemáticas]

Answer 2

Tenemos una ecuación diferencial de la forma: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

La ecuación es exacta si ∂M / ∂y = ∂N / ∂x

M (x, y) = xy + y² + y —-> ∂M / ∂y = x + 2y + 1

N (x, y) = x² + 3xy + 2x – → ∂N / ∂x = 2x + 3y + 2

La ecuación no es exacta. Sin embargo, podemos encontrar un factor de integración si ( ∂M / ∂y – ∂N / ∂x) / N es una función apagada solo x o ( ∂N / ∂x – ∂M / ∂y) / M es una función solo de y .

( ∂N / ∂x – ∂M / ∂y) / M = ((2x + 3y + 2) – (x + 2y + 1)) / (y (x + y + 1)) = (x + y + 1) / (y (x + y + 1)) = 1 / y

Factor integrador = e ^ ∫ 1 / y dy = e ^ ln y = y

Multiplicar por y

y² (x + y + 1) dx + xy (x + 3y + 2) dy = 0

(xy² + y³ + y²) dx + (x²y + 3xy² + 2xy) dy = O

La ecuación ahora es exacta.

La solución es F (x, y) = C , donde

∂F / ∂x = M (x, y) = (xy² + y³ + y²)

F (x, y) = ∫ (xy² + y³ + y²) dx = ½ x²y² + xy³ + xy² + G (y)

∂F / ∂y = N (x, y) = (x²y + 3xy² + 2xy)

F (x, y) = (x²y + 3xy² + 2xy) dy = ½ x²y² + xy³ + xy² + H (x)

Al comparar ambos valores de F (x, y), vemos que G (y) = 0, H (x) = 0

Solución:

½ x²y² + xy³ + xy² = c

x²y² + 2xy³ + 2xy² = C

xy² (x + 2y + 2) = C

Answer 3

Abrir todos los corchetes.

[matemática] yxdx + y ^ 2dx + ydx + x ^ 2dy + 3xydy + 2xdy = 0 [/ matemática]

Multiplica por y a lo largo de la ecuación.

[matemática] y ^ 2xdx + y ^ 3dx + y ^ 2dx + x ^ 2ydy + 3xy ^ 2dx + 2xydy = 0 [/ matemática]

Reconoce algunos patrones aquí ahora.

[matemáticas] (y ^ 2/2) * d (x ^ 2) + y ^ 3dx + y ^ 2dx + x ^ 2d (y ^ 2/2) + xd (y ^ 3) + xd (y ^ 2) = 0 [/ matemáticas]

Reorganizar de nuevo.

[matemáticas] [(y ^ 2/2) d (x ^ 2) + x ^ 2d (y ^ 2/2)] + [y ^ 3dx + xd (y ^ 3)] + [y ^ 2dx + xd ( y ^ 2)] = 0 [/ matemáticas]

Ups

[matemática] d (y ^ 2x ^ 2/2) + d (xy ^ 3) + d (y ^ 2x) = 0 [/ matemática]

Integre indefinidamente y agregue algo constante, digamos C.

[matemáticas] y ^ 2x ^ 2/2 + xy ^ 3 + y ^ 2x = C [/ matemáticas]

Answer 4

Es una ecuación diferencial exacta que tiene la forma general como
M dx + N dy = 0
para tales qus evalúe la diferenciación de M con respecto a y y la diferenciación de N con respecto a x. si ambos resultan ser iguales, entonces la solución es:
integración Mdx (y se trata como constante) + integración Ndy (solo se integran los términos que excluyen x) = constante
entonces para esto qus M = (x + y + 1) & N = (x + 3y + 2)
del M / del y = 1
del N / del x = 1
ambos son iguales, entonces la solución es-
[(x ^ 2) / 2 + x + xy] + [(3y ^ 2/2) + 2y] = c.